Для юных математиков. Веселые задачи - Перельман Яков Исидорович - Страница 15

15

– Что получится, если ленту разрезать вдоль посредине?

Рис. 74

Всякий ответит вам, что, очевидно, из одного кольца получатся два – ничего другого и ожидать нельзя.

Но получится нечто неожиданное. Как вы думаете, что?ЗАДАЧА № 85 Еще неожиданнее

Еще неожиданнее будет то, что получится при разрезывании другого бумажного кольца, склеенного несколько иным образом. А именно: конец закручивают, как и раньше, но не два раза, а один раз (угол 3-й при склеивании придется против угла 2-го).

Что получится, если разрезать такую ленту вдоль посредине (рис. 75)?

Рис. 75

Испытайте, – результат поразит вас! ЗАДАЧА № 86 Игра в 32

В эту игру играют вдвоем. Положите на стол 32 спички. Тот, кто начинает играть, берет себе одну, две, три или четыре спички. Затем и другой берет себе сколько хочет спичек, но тоже не более 4-х. Потом опять первый берет не свыше 4-х спичек. И так далее. Кто возьмет последнюю спичку, тот и выиграет.

Игра очень простая, как видите. Но она любопытна тем, что тот, кто начинает игру, всегда может выиграть, – если только правильно рассчитает, сколько ему нужно брать.

Можете ли вы указать, как он должен играть, чтобы выиграть?ЗАДАЧА № 87 То же, но наоборот

Игру «в 32» можно видоизменить: тот, кто берет последнюю спичку, не выигрывает, а, наоборот, проигрывает. Как следует здесь играть, чтобы наверняка выиграть?ЗАДАЧА № 88 Игра в 27

Эта игра похожа на предыдущие. Она также ведется между двумя игроками и тоже состоит в том, что играющие поочередно берут не более 4 спичек. Но конец игры иной: выигравшим считается тот, у кого по окончании игры окажется четное число спичек.

И тут начинающий игру имеет преимущество. Он может так рассчитать свои ходы, что наверняка выиграет. В чем состоит секрет беспроигрышной игры?ЗАДАЧА № 89 На иной лад

При игре в 27 можно поставить и обратное условие: чтобы считался выигравшим тот, у кого после игры окажется нечетное число спичек.

Каков здесь способ беспроигрышной игры?ЗАДАЧА № 90 Из шести спичек

Можете ли вы из шести спичек составить четыре равносторонних треугольника, притом так, чтобы ни одна сторона ни одного треугольника не была короче спички?

Попытайтесь. И не отчаивайтесь в успехе, если вам долго не удастся решить задачи, потому что она все-таки разрешима и даже без особых хитростей.

Не бойтесь также и подлога в условии задачи, – ее надо понимать именно так, как было сказано: составить из 6 спичек 4 равносторонних треугольника.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 81-90Решение задачи № 81

Когда вы удваиваете или утраиваете четное число, вы всегда получаете в результате тоже четное число. Другое дело с числом нечетным: при удвоении оно становится четным, но при утроении остается нечетным. Гривенник, следовательно, дает четное число и при удвоении, и при утроении; напротив, 3 копейки дают четное только при удвоении; утроенные они дают число нечетное. Мы знаем также, что, складывая четное число с четным, получим четное, а складывая четное и нечетное, получим нечетное число.

Отсюда прямо вытекает, что если в нашем фокусе сумма оказалась четной, значит, три коп. были удвоены, а не утроены, – т. е. находились в правой руке.

Если бы сумма была нечетной, это означало бы, что три коп. подверглись утроению и, следовательно, находились в левой руке.Решение задачи № 82

Секрет фокуса кроется в том, что второй гость, приписывая к задуманному трехзначному числу то же число, умножил его на 1001, сам того не подозревая. Действительно: если, например, первый гость задумал число

873,

то у второго гостя получилось число

873873.

Но ведь это не что иное, как

873000+873, т. е. 873x1001.

А число 1001 – замечательное число: оно получается от умножения 7x11x13.

Не удивительно поэтому, что хозяин уверенно предлагал делить такое шестизначное число сначала на 13, потом на 11, потом на 7.

Разделить же последовательно на 13, на 11 и на 7 все равно, что делить на 13x11x7, т. е. на 1001.

Итак, второй гость умножил задуманное число на 1001, а три следующих гостя совместно разделили полученное им число на 1001. Вот почему в результате снова получилось задуманное число.Решение задачи № 83

Этот курьезный фокус, в сущности, прост до смешного. Его разгадка ясна хотя бы, например, уже из того, что если бы на последний вопрос вам ответили не «туз», а прямо «валет» – успех отгадывания был бы не менее блестящий. Вообще, весь секрет фокуса вот в чем: сообразно с тем, что вам нужно, вы сосредоточиваете внимание собеседника либо на тех картах, которые им названы, либо же на тех, которые не названы. А так как задуманная карта непременно должна оказаться либо среди названных, либо среди не названных, то нисколько не удивительно, что собеседник ваш всегда «отгадывает» безошибочно.

Разумеется, когда вы проделаете этот фокус подряд несколько раз, уловка будет раскрыта. Но если не злоупотреблять недогадливостью слушателя, то можно поставить в тупик самого находчивого человека.Решение задачи № 84

Получаются два кольца, но продетые одно в другое, как звенья цепи (рис. 76).

Рис. 76.

Если каждое из этих колец вы снова разрежете вдоль, вы опять получите по два кольца, продетые одно в другое. Решение задачи № 85

При разрезывании этого кольца вдоль получится, вопреки всем ожиданиям, не два кольца, а… одно, вдвое большее (рис. 77)!

Рис. 77.

Наша изогнутая лента, обладающая столь удивительным свойством не разъединяться при разрезывании, называется в геометрии «поверхностью Мебиуса», по имени знаменитого математика прошлого века. Другая замечательная особенность нашего кольца состоит в том, что у него нет «лицевой стороны» и «изнанки»; «лицо» ленты постепенно переходит в «изнанку», так что невозможно указать, где кончается одна сторона и начинается другая. Если бы вы пожелали, например, покрасить одну сторону нашей бумажной ленты, скажем, в красный цвет, а другую оставить некрашеной, то не могли бы выполнить этого: у нашей ленты нет двух сторон, она односторонняя [7] .

Но вернемся к разрезыванию нашей ленты. Если, разрезав ее вдоль и получив одно кольцо, вы разрежете новое кольцо, у вас получится на этот раз два кольца (рис. 78).

Рис. 78

Однако разнять их вы не сможете: они запутаны одно в другом сложным гордиевым узлом, который можно рассечь только ножницами. Решение задачи № 86

Нехитрый секрет беспроигрышной игры найти довольно легко, если попробовать сыграть партию с конца. Нетрудно видеть, что если предпоследним нашим ходом вы оставите партнеру на столе 5 спичек, – то выигрыш для вас обеспечен: партнер не может взять больше 4-х спичек, и, следовательно, вы можете взять после него все остальное. Но как устроить, чтобы вы наверняка могли предпоследним ходом оставить на столе 5 спичек? Для этого необходимо предшествующим ходом оставить противнику ровно 10 спичек: тогда, сколько бы он ни взял, он не оставит вам меньше 6, – и вы всегда сможете оставить ему 5. Далее: как достичь того, чтобы партнеру пришлось брать из 10 спичек? Для этого надо в предыдущий ход оставить на столе 15 спичек.

Так, последовательно вычитая по 5, мы узнаем, что на столе надо оставить 20 спичек, а еще ранее – 25 спичек, и наконец в первый раз – 30 спичек, – т. е., начиная игру, взять 2 спички.

Итак, вот секрет беспроигрышной игры: сначала берите 2 спички; затем – после того, как партнер взял несколько спичек, – берите столько, чтобы на столе осталось 25; в следующий раз оставьте на столе 20, потом 15, потом 10 и, наконец, 5. Последняя спичка всегда останется за вами.Решение задачи № 87