Для юных математиков. Веселые задачи - Перельман Яков Исидорович - Страница 11

Когда же машинист уплатил долг, крестьянка «сняла колдовство», посыпав смазанные рельсы песком.

История эта, конечно, могла произойти только в давнее время; на современных паровозах имеются особые песочницы, из которых машинист с помощью особого приспособления высыпает песок на рельсы, когда они становятся скользкими, например, от дождя.

Решение задачи № 63

Задача решалась бы очень просто, если бы было сказано, сколько времени понадобилось шмелю на перелет из сада в родное гнездо. Этого в задаче не сказано, – но геометрия поможет нам самим узнать это.

Рис. 66.

Начертим путь шмеля. Мы знаем, что шмель летел сначала «прямо на юг» в течение 60-ти минут. Затем он летел 45 минут «на запад», т. е. под прямым углом к прежнему пути. Оттуда «кратчайшей дорогой», т. е. по прямой линии – обратно к гнезду. У нас получился прямоугольный треугольник ABC, в котором известны оба «катета», АВ и ВС, и надо определить третью сторону – «гипотенузу» АС.

Геометрия учит, что если какая-нибудь величина содержится в одном катете 3 раза, а в другом – 4 раза, то в третьей стороне – гипотенузе – та же величина должна содержаться ровно пять раз. Например, если катеты треугольника равны 3 и 4 метрам, то гипотенуза = 5 м; если катеты 9 и 12 километров, то третья сторона = 15 км и т. п. В нашем случае один катет 3x15 мин. пути, другой – 4x15 мин. пути; значит, гипотенуза АС = 5x15 минут пути. Итак, мы узнали, что из сада к гнезду шмель летел 75 минут, т. е. 1 1/4 часа.

Теперь легко уже подсчитать, сколько времени пробыл шмель в отсутствии. На перелеты он употребил времени:

1 час + 3/4 часа + 1 1/4часа = 3 часа.

На остановки у него ушло времени:

1/2 часа + 1 1/2 часа = 2 часа.

Итого: 3 часа + 2 часа = 5 часов.Решение задачи № 64

Поверхность крышки равна произведению длины ящика на его ширину; поверхность боковой стенки = высоте x ширину; поверхность передней стенки = высоте x длину. Следовательно, мы знаем, что

длина x ширину = 120

высота x ширину = 80

высота x длину = 96.

Перемножим первые два равенства. Получим:длина x высоту x ширину x ширину = 120x80.

Разделим это новое равенство на 3-е:

Сократив дробь и произведя действия, имеем:

ширина x ширину = 100.

И следовательно, ширина ящика = 10 см.

Зная это, легко определить, что высота ящика =

80/10 = 8 см, а длина = 96/8 = 12 см.Решение задачи № 65

Вы не решите этой простой задачи, если не уясните себе сначала, из чего составляется длина цепи. Всмотритесь в чертеж:

Вы видите, что длина натянутой цепи составляется из полной ширины первого звена, к которой, с присоединением каждого нового звена, прибавляется не полная ширина звена, а ширина без двойной толщины звена.

Теперь перейдем к нашей задаче.

Мы знаем, что одна цепь длиннее другой на 14 сантиметров и имеет на 6 звеньев больше ее. Разделив 14 на 6, мы получаем 2 1/3. Это и есть ширина одного звена, уменьшенная на двойную его толщину. Так как толщина кольца известна – полсантиметра, – то, следовательно, полная ширина каждого звена = 2 1/3 + 1/2 + 1/2 = 3 1/3 сантиметра.

Теперь легко определить, из скольких звеньев состояла каждая цепь. Из чертежа видно, что если мы отнимем от 36-сантиметровой цепи двойную толщину первого звена, т. е. 1сантиметр, и остальное разделим на 2 1/3, то получим число звеньев в этой цепи:

35 : 2 1/3 = 15.

Точно так же узнаем число звеньев в 22-сантиметровый цепи:

21 : 2 1/3 = 9.Решение задачи № 66

Мельник начал с того, что сложил все 10 чисел. Полученная сумма, 1156 килограммов, – не что иное, как учетверенный вес мешков: ведь в нее вес каждого мешка входит 4 раза. Разделив на 4, узнаем, что все пять мешков вместе весят 289 килограммов.

Теперь для удобства обозначим мешки, в порядке их веса, номерами. Самый легкий мешок – это № 1, второй по тяжести – № 2 и т. д.; самый тяжелый мешок – № 5. Нетрудно сообразить, что в ряде чисел: 110 кг, 112 кг, 113 кг, 114 кг, 115 кг, 116 кг, 117 кг, 118 кг, 120 кг, 121 кг – первое число составилось из веса двух самых легких мешков: № 1 и № 2; второе число – из веса № 1 и № 3. Последнее число составилось на веса двух самых тяжелых мешков № 4 и № 5, а предпоследние – из № 3 и № 5. Итак:

№ 1 и № 2 вместе весят 110 кг

№ 1 и № 3 вместе весят 112 кг

№ 3 и № 5 вместе весят 120 кг

№ 4 и № 5 вместе весят 121 кг

Легко узнать, следовательно, сумму весов № 1, № 2, № 4 и № 5: она равна 110 кг + 121 кг = 231 кг. Вычтя это число из общей суммы веса всех мешков (289 кг), получаем вес мешка № 3, именно – 58 килограммов.

Дальше, из суммы веса мешков № 1 и № 3, т. е. из 112, вычитаем известный уже нам вес мешка № 3; получается вес мешка № 1: 112 кг – 58 кг = 54 кг.

Точно так же узнаем вес мешка № 2, вычтя 54 кг из 110 кг, т. е. из суммы веса мешков № 1 к № 2. Получаем: вес мешка № 2 равен 110 кг – 54 кг = 56 кг.

Из суммы весов мешков № 3 и № 5, т. е. из 120 вычитаем вес мешка № 3, который равен 58 кг; узнаем, что мешок № 5 весит 120 кг – 58 кг = 62 кг.

Остается определить вес мешка № 4 из суммы № 4 и № 5, т. е. из 121 кг. Вычтя 62 из 121, узнаем, что мешок № 4 весит 59 кг.

Итак, вот вес мешков:

54 кг, 56 кг, 58 кг, 59 кг, 62 кг.Решение задачи № 67

Мы знаем, что Володя вдвое старше Жени, а Надя и Женя вместе вдвое старше Володи. Значит, годы Нади и Жени вместе вчетверо больше, чем годы Жени. Отсюда прямо следует, что

Надя старше Жени в 3 раза.

Далее, мы знаем, что сумма лет Алеши и Володи вдвое больше суммы лет Нади и Жени. Но возраст Володи есть удвоенный возраст Жени, а годы Нади и Жени вместе есть учетверенный возраст Жени. Следовательно, годы Алеши + удвоенный возраст Жени = 8-кратному возрасту Жени. То есть:

Алеша старше Жени в 6 раз.

Наконец, нам известно, что сумма возрастов Лиды, Нади и Жени равна сумме возрастов Володи и Алеши.

Имея перед глазами табличку:

Лиде – 21 год.

Надя – в 3 раза старше Жени,

Володя – в 2 раза старше Жени,

Алеша – в 6раз старше Жени, мы можем сказать, что 21 год + утроенный возраст Жени + возраст Жени = 4-кратному возрасту Жени + 12-кратному возрасту Жени.

Или: 21 год + 4-кратный возраст Жени = 16-кратному возрасту Жени.

Значит, 21 год = 12-кратному возрасту Жени и, следовательно, Жене 21/12 = 1 3/4 года.

Теперь уже легко определить, что Володе 3 1/2 года, Наде – 5 1/4 и Алеше – 10 1/2 лет.Решение задачи № 68

Для ясности нарисуем рядом две свечи – толстую, ко – торая может сгореть в 5 часов, и тонкую, которая может сгореть в 4 часа. Заштрихуем те части обеих свечей, которые сгорали, огарки же оставим незаштрихованными. Легко сообразить, что длина сгоревшей части тонкой свечи должна составлять 5/4 длины сгоревшей части толстой свечи; другими словами, заштрихованный избыток тонкой свечи составляет по длине 1/4 сгоревшей части толстой свечи. Но в то же время длина этого избытка = 3/4 длины толстого огарка. Другими словами, мы узнали, что 3/4 длины толстого огарка равна 1/4 длины сгоревшей части толстой свечи. Значит, 4/4 его (т. е. весь огарок) составляет 1/4 x 4/3 = 1/3 толстой свечи.

Итак, огарок толстой свечи составляет 1/3 сгоревшей части или 1/4 всей длины свечи. Сгорело, следовательно, 3/4 толстой свечи. А так как вся свеча могла сгореть в 5 часов, то 3/4 ее горело в продолжение (5x3)/4 = 15/4 = 3 3/4 часа.

Ответ: свечи горели 3 3/4 часа.Решение задачи № 69

Каждый ученик или ученица ежедневно раскланивались со всеми остальными школьниками и с заведующим. С самим собою, конечно, не раскланивались, зато делали поклон заведующему, так что каждый школьник и школьница делали ежедневно столько поклонов, сколько было детей в школе. Значит, все дети вместе делали ежедневно столько поклонов, сколько составится от умножения их общего числа самого на себя.