Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Стюарт Йен - Страница 18
У этой истории имеется и последний поворот сюжета. Вскоре после выхода второго издания «Великого искусства», в 1570 году, инквизиция заключила Кардано в тюрьму. Причина ареста могла быть связана с обстоятельством, ранее казавшимся совершенно невинным, — не с содержанием книги, а с ее посвящением. Кардано в свое время решил посвятить ее относительно малоизвестному интеллектуалу Андреасу Осиандеру — второстепенному деятелю Реформации, на которого, однако, пало сильное подозрение в авторстве анонимного предисловия к книге «О вращении небесных сфер» Николая Коперника — первой книге, где говорилось, что планеты движутся не вокруг Земли, а вокруг Солнца. Церковь считала эти взгляды еретическими и в 1600 году сожгла Джордано Бруно за то, что тот продолжал их отстаивать, подвесив его раздетого догола и с кляпом во рту вниз головой на столбе на рыночной площади в Риме. В 1616 году, а потом еще раз, в 1633-м, по сходным причинам она доставила немало неприятностей Галилею, однако на сей раз инквизиция удовлетворилась помещением ученого под домашний арест.
Чтобы оценить, чего же достигли Джироламо и его соотечественники, нам надо вернуться к вавилонским табличкам, которые объясняют, как решать квадратные уравнения. Если следовать их предписанию, но выразить все шаги вычисления в современных обозначениях, мы увидим, что вавилонский писец на самом деле сообщал нам, что решение квадратного уравнения x2 ? ax = b есть
Эта формула эквивалентна той, которую наизусть знает каждый школьник и которая в наши дни присутствует во всех справочниках.
Решение кубического уравнения, данное во времена Возрождения, выглядит похоже, но посложнее. В современных обозначениях оно имеет следующий вид. Пусть x3 + ax = b. Тогда
Коль скоро речь зашла о формулах, то эта среди них — относительно простая (поверьте!), однако для того, чтобы стало возможным записать ее в таком виде, потребовалось развитие большого числа алгебраических идей. Это заведомо самая сложная формула из тех, что нам встретятся в этой книге, и в ней использованы все три типа обозначений, которые я ввел: буквы, приподнятые числа и знак, причем корни здесь как квадратные, так и кубические. Понимания этой формулы от вас не требуется и определенно не требуется производить с ней никаких вычислений. Но важно понять ее общее устройство. Начнем с некоторой терминологии, которая будет нам полезна по мере продвижения вперед.
Алгебраическое выражение вида 2x4 ? 7x3 ? 4x2 + 9 называется полиномиальным выражением или, иначе говоря, многочленом. Такие выражения образованы путем сложения друг с другом различных степеней неизвестного. Числа 2, ?7, ?4 и 9, на которые умножаются эти степени, называются коэффициентами. Старшая степень, в которой неизвестное входит в многочлен, называется степенью этого многочлена, так что приведенный выше многочлен имеет степень 4. Имеются специальные названия для многочленов младших степеней (от 1 до 3 включительно): линейный, квадратичный и кубический[18]. Решения соответствующего уравнения 2x4 ? 7x3 ? 4x2 + 9 = 0 называются корнями многочлена.
Теперь можно разобрать формулу Кардано на части. Она построена из коэффициентов a и b с использованием сложения, вычитания, умножения и деления (но только на определенные целые числа — 2, 4 и 27). Эзотерические аспекты двояки. Имеется квадратный корень — в действительности один и тот же квадратный корень встречается дважды, но один раз он прибавляется, а другой раз вычитается. Наконец, имеются два кубических корня, причем это кубические корни из величин, в которые входят квадратные корни. Так что помимо безобидных алгебраических операций (под которыми я понимаю те, что попросту перемешивают члены) «скелет» решения можно выразить так: «Берем квадратный корень, затем кубический корень; делаем это еще раз; складываем результаты».
Это все, что нам понадобится. Но без этого, я полагаю, нам не обойтись.
Чего математикам эпохи Возрождения сначала никак не удавалось ухватить, пока последующие поколения этого не поняли, так это того факта, что данная формула есть не просто решение одного типа кубических уравнений. Это — полное решение всех типов кубических уравнений, с точностью до простых алгебраических преобразований. Для начала, если кубический член есть, скажем, 5x3, а не x3, то можно просто разделить все уравнение на 5; с этим-то математики эпохи Возрождения неплохо разобрались. Более тонкая идея, которая потребовала тихой революции во взглядах на числа, состоит в том, что если разрешить коэффициентам а и b быть при необходимости отрицательными, то можно избежать бесплодных разграничений между различными случаями. Наконец, имеется чисто алгебраический фокус: если в уравнение входит квадрат неизвестного, от него всегда можно избавиться — надо заменить x на x плюс специальным образом подобранная постоянная, и если все сделать правильно, то слагаемое с квадратом замечательным образом исчезает. Здесь опять же будет легче, если перестать беспокоиться о том, являются ли числа положительными или отрицательными. Наконец, математики Возрождения тревожились по поводу слагаемых, которые полностью отсутствовали в уравнении, в то время как, на наш современный взгляд, средство от их тревоги очевидно: такие слагаемые не столько отсутствуют, сколько имеют перед собой коэффициент, равный нулю. Тогда одна и та же формула применима во всех случаях.
Задача решена?
Не совсем. Я вас обманул.
Обман вот где: я сказал, что формула Кардано решает все кубики (то есть кубические уравнения). В некотором смысле это утверждение неверно, и этот факт оказался важным. С другой стороны, обман был не очень серьезным, поскольку все зависит от того, что понимать под словом «решает».
Сам Кардано заметил эту сложность — и этот факт красноречиво свидетельствует о его внимании к мелочам. Кубическое уравнение, как правило, имеет или три решения (меньше, если исключить отрицательные числа), или одно. Кардано заметил, что когда имеются три решения — скажем, 1, 2 и 3, — то их никаким разумным образом не удается получить из формулы для решений. Вместо этого появляются квадратные корни из отрицательных чисел.
А именно, Кардано заметил, что кубическое уравнение x3 = 15x + 4 имеет очевидное решение x = 4. Но, применив формулу Тартальи, он получил «ответ»
казавшийся бессмысленным.
Немногие среди европейских математиков тех дней были настолько отчаянными, чтобы согласиться принять отрицательные числа. Их коллеги на Востоке пришли к пониманию отрицательных величин намного раньше. В Индии последователи джайнизма развили зачатки понятия отрицательных величин уже в 400 году, а в 1200-м в китайской системе «счетных палочек» использовались красные палочки для положительных чисел и черные для отрицательных — хотя и только в определенном, ограниченном контексте.
Если уже отрицательные числа вызывали затруднение, то квадратные корни из них представляли собой затруднение куда большее. Сложность состоит в том, что квадрат как положительного, так и отрицательного числа всегда положителен — я не буду объяснять почему, но это единственный способ заставить все законы алгебры работать непротиворечивым образом. Так что, даже если вы не против использования отрицательных чисел, вам вроде бы придется признать, что разумным способом изрекать квадратные корни из них нельзя. А поэтому всякое алгебраическое выражение, содержащее квадратный корень из отрицательной величины, должно быть бессмыслицей.
18
В английском оригинале имена даются также многочленам степеней 4, 5 и 6: они произведены от соответствующих слов «квартика», «квинтика» и «секстика», которые мы также будем иногда употреблять, называя уравнения четвертой и пятой степени соответственно квартикой и квинтикой (а третьей степени заодно — кубикой). (Примеч. перев.)
- Предыдущая
- 18/86
- Следующая