Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Семихатов Алексей - Страница 30

30

Единственные функции, кроме логарифма, производные которых нам понадобятся в этой книге, — это простые степенные функции xN. Приведем без доказательства тот факт, что для любого числа N производная функции xN есть функция NxN?1. Таблица 7.1 дает некоторые производные степенных функций.

Функция Производная x?3 ?3x?4 x?2 ?2x?3 x?1 ?x?2 x0 0 x1 1 x2 2x x3 3x2

Конечно, x0 — это просто единица, а график этой функции — горизонтальная прямая. У нее нет наклона — точнее, нулевой наклон. Дифференцирование любого фиксированного числа дает нуль. А x1 — это просто x, график же представляет собой прямую, идущую по диагонали вверх и покидающую рисунок через правый верхний угол. Наклон ее повсюду равен 1. Заметим, что нет такой степенной функции, производная которой была бы равна x?1, хотя x0 вроде бы стоит на правильном месте, чтобы дать такую производную. Это неудивительно, поскольку мы уже знаем, что производная ln x есть как раз x?1. Это еще одно свидетельство того, что ln x как будто пытается выдать себя за x0.

Вы, должно быть, помните мои слова о том, что математики обожают все обращать. Если задано выражение P через Q, то как выразить Q через P? Именно так мы исходно и получили логарифмическую функцию — как обращение показательной функции. Если a = eb, тот как найти b через a? Как ln а.

Так вот, предположим, что мы продифференцировали функцию f и получили функцию g. То есть g представляет собой производную функции f. А f представляет собой… (что именно?!) функции g? В чем состоит обращение дифференцирования? Производная ln x — это 1/x, так что ln x — это… (что?) функции 1/x? Ответ: интеграл, вот что. Обращение производной — это интеграл, а обращение дифференцирования — это интегрирование. Поскольку вся эта деятельность прозрачна для умножения на фиксированное число, переворачивание таблицы 7.1 вверх ногами и некоторая ее «доводка» дадут нам обратную операцию, которая и представлена в таблице 7.2. И вообще, если только N не равно ?1, то интеграл от функции xN равен xN+1/(N + 1). (Взгляд на таблицу еще раз показывает, как функция ln x изо всех сил старается вести себя как функция x0, каковой она, конечно, не является).

Функция Интеграл x?3 ?1/2x?2 x?2 ?x?1 x?1 ln x x0 x x1 1/2x2 x2 1/3x3 x3 1/4x4

Если производные годятся для того, чтобы выражать наклон функции — т.е. скорость, с которой функция изменяется в данной точке, — то для чего же годятся интегралы? Ответ: для нахождения площадей под графиками.

Функция, показанная на рисунке 7.3, а это в действительности функция 1/x4, т.е., другими словами, x?4, — ограничивает собой некоторую площадь между аргументами x = 2 и x = 3. Чтобы найти эту площадь, сначала надо найти интеграл от x?4. Согласно приведенному выше общему правилу, этот интеграл равен ?1/3x?3, т.е. ?1/(3x3). Эта функция, как и всякая другая, имеет значение для каждого x из своей области определения. Чтобы найти площадь между аргументами 2 и 3, надо вычислить значение интеграла при аргументе 3, затем вычислить значение интеграла при аргументе 2, а потом вычесть второе значение из первого.

При x = 3 значение функции ?1/(3x3) равно ?1/81, при x = 2 оно составляет ?1/24. Вычитаем, не забывая, что вычесть отрицательное число — это все равно что прибавить соответствующее положительное: ?1/81 ? (?1/24) = 1/24 ? 1/81, что равно 19/648, т.е. примерно 0,029321.

У математиков есть специальный способ для записи всей этой процедуры:

, что читается как «интеграл от икс в минус четвертой степени по дэ-икс от двух до трех». (Не слишком озадачивайтесь этим самым «по dх» — назначение этих слов состоит в указании, что именно x является основной переменной, с которой мы работаем, и именно ее интеграл надо найти. Если под знаком интеграла окажутся еще другие переменные, то они будут там присутствовать праздно, интегрирование ведется не по ним. В главе 19 у нас появится такой пример.)

Далее. Иногда оказывается возможным отправить правый конец интегрирования на бесконечность, но при этом получить конечную площадь. Это напоминает ситуацию с бесконечными суммами: если значения ведут себя должным образом, такие суммы могут сходиться к конечному значению. То же и здесь. У функций, которые ведут себя должным образом, площадь под кривой может оказаться конечной, несмотря даже на то, что область бесконечно длинная. Интегралы связаны с суммами на глубинном уровне. Даже знак интеграла, впервые использованный Лейбницем в 1675 году, представляет собой вытянутое S, обозначающее «сумму».

Смотрите: предположим, что вместо того, чтобы останавливаться на тройке, мы бы продолжили интегрирование до x = 100. Тогда, поскольку куб числа 100 равен 1 000 000, наше вычисление приобрело бы вид:

Ясно, что если бы мы пошли еще дальше, то второе слагаемое стало бы еще меньше. По мере того как мы спешим к бесконечности, оно постепенно угасает, стремясь к нулю, и у нас есть полное право написать:

Стоит заметить, что, когда интеграл используется для вычисления площади, x исчезает из ответа: вместо x подставляются числа и в ответе получается число.

Вот и все. Клянусь, это все, что нам понадобится из дифференциального и интегрального исчисления. И поскольку ничего нового вводиться не будет, пользоваться дифференциальным и интегральным исчислением мы начнем прямо сейчас. С их помощью мы определим новую функцию, которая чрезвычайно важна в теории простых чисел и дзета-функции.