»Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1» - Автор неизвестен - Страница 42

Література:

Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. – М.: Учпедгиз, 1959. – 208 с.

Мошковська Г.К. Головна теорема геометрії // Нова педагогічна думка. – 1999. – №4. – С. 121–125.

Розв’язування задач з параметрами

з Використанням програми gran1

Т.Г. Крамаренко

м. Кривий Ріг, Жовтневий ліцей

Математика є унікальним засобом формування не тільки освітнього, а й розвиваючого та інтелектуального потенціалу особистості. Використання комп’ютера, зокрема програми GRAN1, на уроках алгебри допомагає у вирішенні дидактичних завдань та активізує дію мотиваційних чинників у створенні позитивного ставлення до навчання [1].

Розглянемо приклади застосування GRAN1 при вивченні теми “Розв’язування задач з параметрами”.

Параметр має двоїсту природу – з одного боку це фіксоване, але невідоме число, а з другого боку – змінна, оскільки розглядаємо задачу для всіх можливих значень параметра. Це і обумовлює два основні методи розв’язання – аналітичний та графічний, з побудовою графічного образу на координатній площині ( x; y) чи на площині ( x; а). Графічний метод перетворює процес розв’язування з формально-арифметичного в наочно-геометричний.

Щоб знайти при яких значеннях арівняння х 2–2 ах+а+1=0 і х 2 +ах–а–1=0 мають хоча б один спільний корінь, користуються, як правило, аналітичним методом. З використанням GRAN1 задачу нескладно розв’язати графічно. Для цього будуємо в одній системі координат графічні образи рівнянь, відкладаючи по осі абсцис значення змінної, по осі ординат – значення параметра. Скориставшись послугою “Координати точки”, знаходимо ординати точок перетину: –1; 2; ? –0,67. При таких значеннях параметра рівняння мають спільний корінь.

Передбачимо, використовуючи GRAN1, кількість розгалужень в процесі розв’язання рівняння х 4–2 ах 2– х+а 2– а=0 та число розв’язків для кожного значення параметра а. Аналізуючи графічний образ можна встановити, що для а<–0,25 коренів нема; для –0,25< а<0,75 коренів два, для а>0,75 коренів чотири, для а=–0,25 – один, для а=0,75 – три. Самі ж корені можна знайти лише наближено. Аналітичним методом рівняння розв’язують через параметр.

Для розв’язування нерівності х 2( х 2–2 а)+4 а< х 2(4– а) традиційно використовують аналітичний метод. Спробуємо здійснити передбачення розв’язків з використанням GRAN1. Перетворюємо нерівність до виду G( x, y)>0, будуємо графічний образ рівняння G( x, y)=0 і використовуємо послугу “Розв’язати нерівність G( x,  y)>0”.

По осі абсцис відкладаємо значення параметра а, по осі ординат – змінної х. Щоб переконатися, яку саме криву побудовано, додатково будуємо в цій же системі координат графік функції . Криві співпадають (рис. 1). Проводимо прямі, перпендикулярні параметричній осі, записуємо розв’язки нерівності. Якщо а<0, x?(–2; 2); 0? а<4, то х?(–2; –v а)U(v а; 2); якщо а=4, то нема розв’язків; якщо а>4, то х?(–v а; –2)U(2; v а).

Ще одна нерівність. При яких значеннях параметра анерівність a·4 x –4·2 x +3 a+1?0 виконується для всіх х? Будуємо з використанням GRAN1 геометричне місце точок (рис. 2), що задовольняють нерівність. По осі ординат відкладаємо параметр а, знаходимо максимум а=1. При a?1 нерівність виконується для всіх х.

Щоб розв’язати без використання GRAN1, перетворюють нерівність. Задача знову звелась до знаходження найбільшого значення функції. Для отримання розв’язків використовують похідну.

Користуючись графічним образом рівняння чи нерівності варто запропонувати дітям самостійно скласти і розв’язати нові задачі. Збільшуючи відрізок, на якому задано функцію, учні можуть відповісти на питання, при яких значеннях параметра остання нерівність не має розв’язків, розв’язки записуються у вигляді одного, двох інтервалів.

Нерівність найкраще розв’язувати графічно з побудовою образу в площині ( х, а). Тому картинка, яку виконаємо від руки, буде такою ж, як і з використанням GRAN1.

Досить часто при розв’язуванні методом перерізів для побудови графіків учням доводиться застосовувати похідну. Труднощі в таких задачах можуть виникнути і при обчисленні границь функції. Саме тоді в нагоді стає комп’ютер, який вчить учня правильно використовувати властивості функцій.

Застосування програми GRAN1 розширює клас функцій, графіки яких учні можуть побудувати. Варто звернути увагу на особливості побудови графіків цілої частини функції y=[ f( x)] та дробової y={ f( x)} в програмі GRAN1. За цілу частину числа хберуть найбільше ціле число, що не перевищує дане. Дробовою частиною числа називається різниця між числом і цілою частиною. В програмі GRAN1 закладено означення з якого слідує, що цілою частиною від’ємного числа є число, яке може бути більшим заданого числа: в програмі [–1,3]=–1 а правильно –2. Тому графіки вказаних функцій до розв’язування задач з параметрами потрібно використовувати обережно.

Таким чином, застосування програми GRAN1 для розв’язування задач з параметрами сприяє передбаченню розв’язків задач, висуванню гіпотез, дає можливість в багатьох випадках отримати кількість розгалужень, сприяє розвитку логічного мислення, пошуку нестандартних підходів при розв’язування задач. Програму можна застосувати до багатьох задач, що традиційно розв’язуються аналітичним методом.

З іншого боку, застосування програми GRAN1 допомагає вирішувати проблему гуманізації освіти: робить задачі з параметрами більш доступними кожному, хто має хоча б елементарні навички у роботі з комп’ютером, дозволяє дитині досягти успіху, навіть якщо вона й не знає деяких теоретичних положень.

Література:

Жалдак М.І. Комп’ютер на уроках математики: Посібник для вчителів. – К.: Техніка, 1997. – 303 с.

СКІНЧЕННО-РІЗНИЦЕВЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ДВОМІРНОГО

РІВНЯННЯ ШРЕДІНГЕРА Й ФЕНОМЕН КВАНТОВОГО

ХАОСУ: НАУКОВІ ТА МЕТОДИЧНІ АСПЕКТИ

І.В. Кукліна

м. Одеса, Одеський державний екологічний університет

Значна частина задач математичної фізики та обчислю-вальної математики пов’язана з чисельним розв’язанням рівнянь в частинних похідних, які описують різноманітні процеси (класичний та квантовий хаос, дифузійні тощо). При чисельному розв’язанні шуканих рівнянь часто використовуються різницеві схеми [1]. До числа досить складних відноситьтся класс задач, пов’язання з рішенням рівняння Шредінгеру для багаточастин-кових систем з різним птенціалами. Дана робота присвячена розробці нових чисельних моделей в теорії квантово-хаотичних систем у магнітному полі. Вперше розроблено новий квантовий підхід до розрахунку енергій й ширин зеєманівських резонансів у спектрі атому водню й воднєподібних систем у статичному магнітному полі та їх статистичних характеристик у режимі хаосу. Метод базується на скінченно-різницевому розв’язанні двомірного рівняння Шредінгера для атому водню у магнітному полі та операторній теорії збурень. Гамільтоніан системи у магнітному полі з магнітною індуцією Вмає стандартний вигляд: