»Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1» - Автор неизвестен - Страница 22

При формулюванні теореми Рімана в підручниках не підкреслюється той важливий момент, що перестановка членів умовно збіжного ряду повинна охоплювати нескінченнумножину його членів. Будь-які перестановки скінченогочисла членів допускаються в будь-яких рядах; вони не позначаються ні на збіжності рядів, ні на величині їх суми (у випадку збіжних рядів).

При розгляді степеневих рядів треба звернути увагу на вираз для радіуса збіжності степеневого ряду у вигляді:

.

Ця формула має місце лише для рядів “без пропусків”. Наприклад, для рядів, що містять лише послідовні парні або непарні степені x, справедлива формула

.

Це випливає з доведення формули для R. На жаль, цього застереження немає у підручниках.

Якщо програмою передбачено вивчення рядів з комплексними членами і формул Ейлера, то треба, на наш погляд, зупинитися на одному з наслідків формули

e iz =cos z+isin z.

При z=?маємо:

e i? +1=0.

Треба звернути увагу студентів на унікальність та красоту цього співвідношення, яке поєднує всі п’ять основних величин: 1, 0, ?, eта i.

Теорія рядів та її становлення містять у собі значний світоглядний потенціал, який, на наш погляд, треба розкрити перед студентами. Становлення теорія рядів – яскравий приклад того, що суперечності (про деякі з них ми згадували) є джерелом розвитку процесу пізнання. Спроби розв’язати суперечності привели кінець кінцем до створення строгої теорії рядів, яка суттєво збагатила математику та практику. Д. Гільберт у знаменитій доповіді на другому Всесвітньому конгресі математиків відмітив, що “всяка наукова галузь життєздатна, доки в неї надмір нових проблем. Недостача нових проблем означає відмирання або припинення самостійного розвитку…”. Важливо підкреслити, що суперечність є джерелом не тільки розвитку процесу пізнання, але й об’єктивного світу. Всякий розвиток – це виникнення тих чи інших суперечностей, їх розв’язання та виникнення нових суперечностей (закон єдності та боротьби протилежностей).

Наведемо деякі конкретні приклади, які дозволяють продемонструвати перед студентами відображення в теорії рядів діалектичного закону переходу кількісних змін в якісні.

Ряд як “сума нескінченного числа доданків” є якісно нове поняття, властивості якого відрізняються від властивостей “звичайної суми”.

Відкидання скінченого числа членів ряду не змінює його природи (його збіжність або розбіжність), відкидання нескінченної множини доданків може перетворити збіжний ряд у розбіжний і навпаки.

Не змінює природи ряду перестановка скінченого числа членів ряду, але перестановка нескінченної множини членів умовно збіжного ряду може змінити його природу (теорема Рімана).

Сума скінченого числа неперервних функцій неперервна, але сума нескінченної множини неперервних функцій (функціональний ряд) може дати якісно іншу, розривну функцію (нерівномірно збіжний ряд, ряд Фур’є).

Розкладання функцій в ряд Тейлора: сума нескінченної множини степеневих функцій може дати якісно більш складну функцію.

Сума нескінченної множини тригонометричних функцій може дати якісно більш просту функцію (ряд Фур’є).

Не викликає сумніву, що методика формування світогляду студентів у процесі викладання вищої математики повинна стати невід’ємною частиною методики викладання вищої математики.

К методике изложения темы “Кривые второго

порядка” курса высшей математики

В.М. Дрибан, Г.Г. Пенина

г. Донецк, Донецкий государственный университет экономики и торговли им. М. Туган-Барановского

В курсе аналитической геометрии кривые второго порядка обычно рассматриваются как множества точек на плоскости, обладающих определенными свойствами, причем эти свойства различны для различных кривых. Такой подход имеет много методических достоинств. Остановимся на проблемном введении определения эллипса, когда в условиях созданной лектором проблемной ситуации студенты вместе с преподавателем участвуют в процессе разрешения учебной проблемы.

Перед изучением темы “Эллипс” в конце предыдущей лекции рассматривается построение “некоторой” кривой “методом садовника” (нить закреплена в двух точках, а кривая очерчивается так, чтобы мел все время держал нить в натянутом состоянии). Лектор говорит, что полученная кривая имеет большое теоретическое и практическое значение, поэтому очень важно изучить свойства данной кривой (эллипса). Задается вопрос: “Можете ли вы указать какие-нибудь свойства эллипса?”. Студенты по чертежу легко определяют такие свойства, как симметрия, указывают интервалы знакопостоянства, монотонности, находят точки экстремума. Преподаватель подтверждает правильность ответов студентов, но подчёркивает, что этих свойств недостаточно, надо выявить неочевидные, “глубинные” свойства эллипса. Как это сделать? С чего начать? Создалась проблемная ситуация: студенты поставлены в состояние интеллектуального затруднения, когда предшествующих знаний недостаточно для изучения свойств кривой. Здесь студенты слабо осознают основную причину своих затруднений (учебную проблему), поэтому лектор стремится организовать мыслительную деятельность студентов на выявление и формулировку проблемы: “Что нужно прежде всего знать о кривой, чтобы иметь возможность изучить ей свойства средствами математики?”. Если нет правильной догадки, задается вопрос типа “Как изучить свойства спирали Архимеда?” Сразу раздаются возгласы: “А что это такое?” Лектор дает определение спирали Архимеда и возвращается к первоначальному вопросу. Теперь почти всегда студенты дают ответ: чтобы изучить свойства кривой, нужно, прежде всего, дать ее математическое определение. Так в результате анализа проблемной ситуации возникает конкретная проблема. После этого студенты получают задание к следующей лекции: дать определение эллипса, основываясь на способе его построения (нужно подсказать, что эллипс следует определить как множество точек, обладающих определенным свойством). На следующей лекции приведенные студентами определения анализируются.

Конечно, проблемное изложение рассмотренного вопроса можно провести и на одной лекции, все зависит от наличия учебного времени. В любом случае проблемное изложение требует больше времени, чем объяснительно-иллюстративное, но, на наш взгляд, экономить время на таких моментах нельзя.

Подчеркнем, что проблемная ситуация в данном случае создалась лишь потому, что речь шла о кривой, знакомой в общих чертах студентам из школы и жизненной практики, т.е. благодаря наличию противоречия между житейскими и научными знаниями. Отметим также, что первая проблема (изучение “неочевидных” свойств эллипса) непосильна для студентов и была поставлена лишь для того, чтобы студенты с первых же занятий уяснили необходимость математических определений объектов как первого этапа их изучения средствами математики. Поэтому лектор эвристическими подсказками сразу же сводит эту проблему к другой (дать определение эллипса), которая по отношению к первой является промежуточной проблемой, но дидактически является основной. Эта проблема уже вполне посильна для студентов.

Обратим внимание на неточности в определениях эллипса и гиперболы, часто встречающиеся в учебниках. Эти неточности состоят в том, что зачастую не оговаривается, что сумма расстояний от точки эллипса до фокусов должны быть больше расстояния между фокусами, а разность расстояний от точки гиперболы до фокусов по абсолютной величине должна быть положительной и меньшей расстояния между фокусами.

Полезно предложить студентам на лекции найти множества точек на плоскости, не лежащих на кривых, для которых:

сумма расстояний каждой точки до фокусов равна расстоянию между фокусами;

разность расстояний каждой точки до фокусов равна нулю;