»Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1» - Автор неизвестен - Страница 11

После выделения радиальной части ФГ ключевой становится задача решения неоднородного радиального УД с широким интервалом изменения параметра ?. Радиальное уравнение в матричном виде

Здесь ?– квантовое число Дирака. Для угловых частей известны точные аналитические выражения, в которых учтено суммирование по моментным проекциям виртуальных состояний [2]. Радиальную часть ФГ можно стандартно выразить в виде комбинации двух фундаментальных решений однородного уравнения Дирака. С помощью фундаментальных решений элементы G ij ФГ представляются в виде:

Здесь fи g– большая и малая компоненты функции Дирака, N– нормировочный множитель. Знак “~” применяется для обозначения второго фундаментального решения. Для конкретизации задачи предполагаем, что частица движется в сферически симметричном кулоновском потенциале. В таком приближении ее состояние определяется значениями главного квантового числа, полным моментом и четностью. Соответствующие биспиноры имеют стандартный вид [2]:

Здесь – шаровой спинор, g( r) и f( r) – радиальные функции Дирака, которые удовлетворяют системе уравнений:

Вид радиальных функций, естественно, зависит от вида потенциала V( r). Для регулярного при r>0 V( r), при r>? переходящего в чисто кулоновский, при каждом значении ?, ?существуют решения двух типов (см. [3] и ссылки там):

а) регулярное при r>0

?<0 : ?>0

б) сингулярное при r>0

?<0 ?>0

Вычислительные трудности всей задачи связаны в основном с вычислением второго фундаментального решения, для чего использован метод Иванова-Ивановой [3]. Вся вычислительная процедура сведена к решению одной системы обыкновенных ДУ (для численного интегрирования применяется схема Рунге-Кута) и реализована в виде комплекса программ (для Fоrtran Power Station 4.0) для РС Pentium II.

Литература

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М., 1989.

Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. – М., 1979.

Ivanov L.N., Ivanova E.P., Knight L. // Phys. Rev. A. – 1993. – V.48. – P. 436.

Glushkov A.V., Ivanov L.N. // Phys. Lett. A. – 1992. – V. 170. – P. 33.

НОВІ МЕТОДИ СУЧАСНОЇ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

І ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ:

ДЕЯКІ НАУКОВІ ТА МЕТОДИЧНІ АСПЕКТИ

О.В. Глушков, С.В. Малиновська

м. Одеса, Одеський державний екологічний університет

В сучасній математичній фізиці значний розвиток та широкі застосування отримав математичний апарат опису нелінійних квантових систем, який базується на операторній теорії збурень (ТЗ) (див. [1]) та S–матричному адіабатичному формалізмі Гелл-Мана та Лоу (див. напр.[2]). Особливо значні результати можуть бути отримані при його застосуванні в розв’язанні задач взаємодії складних систем із зовнішніми полями. Викладання цього апарату, як правило, потребує високого навчально-методичного та наукового рівня. Нижче ми розглянемо питання його викладання та застосування в наукових задачах на прикладі розв’язання задачі взаємодії “квантова система – зовнішнє поле”.

Мета – отримати основні характеристики – лінії радіаційного поглинення, які варто описувати на підставі техніки моментів ? m. Розглядається взаємодія квантової, наприклад, атомної системи (КС) з когерентним випромінюванням (КВ). Відомі розв’язки подібної задачі для випадку гармонічного КВ, але для сильних (стохастичних тощо) полів задача ще досить далека від свого послідовного розв’язання. Взаємодію КС-КВ можна описувати потенціалом:

V( r, t)= V( r) ? d? f(? ? ? 0) [? 0 t+ ? 0 n?],

де n– ціле число. Умова ? d? f 2 (?)=1 нормує потенціал V( rt) на певну енергію. Функцію f(?) візьмемо в гаусовій формі: ?????I exp [ –ln2 (?/D) 2]. Далі для рівня ? КС розраховується Im частина енергетичного зсуву ?Е як функція центральної частоти імпульсу КВ ? 0. Шукана функція має форму резонансу. Кожен резонанс можливо пов’язати з певним переходом КС «?-р», в якому поглинається « k» фотонів (?, n– дискретні рівні в спектрі КС). Для резонансу розраховуються моменти ліній:

??? p?| k) = ? ? d? Im E ? (?) ( ? - ? p ? / k) / N, (1)

? m= ? ? d? Im E ? (?) ( ? - ? p ? / k) m/ N,

де ? ? d? Im E ? – нормуючий фактор; ? p ? – положення незсунутої лінії КС переходу ?- p; ??( pa| k) – зсув лінії при k–фотонному поглинанні; ? p ?=? p ?+ k???? p?| k). Моменти ? 1, ? 2и ? 3визначають відповідно зсув лінії, її дисперсію та асиметрію. Для розрахунку ? m необхідно провести розклад E ?в ряд ТЗ: E ? = ? E ? ( 2k )(? 0). З цією метою використовуємо адіабатичну формулу Гелл-Мана та Лоу для енергетичного зсуву:

? E ?:? E ?=? gln?? ?| S ?(0,??| g)|? ??| g = 1.

де S ?– матрица розсіювання. Визначення S-матриці у виді ряду ТЗ індукує розклад для ? E ? :

? E ? (? 0)=i?( k 1, k 2,..., k n ) I ? ( k 1, k 2,..., k n ), (2)

I ? ( k 1, k 2,..., k n ) = S ? ( kj ),

S ? ( m )= (-1) m t 1... t m ?? ?| V 1 V 2... V m | ? ??,

V j = exp (1 H 0 t j ) V( rt j ) exp (-1 H 0 t j ) exp (? t j ). (3)

де H– оператор Гамільтону КС; a( k 1, k 2,..., k n ) – чисельні коефіцієнти. Матричні елементи S ? ( m )представляють 2 m доданків відповідно двом доданкам V ?в (3). В кожному є m-кратне інтегрування по часу та m-кратне сумування по КВ імпульсам. В I ? ( k 1,  k 2, ..., k n ) є крім кінцевих при ??0 доданків всі можливі степені розбіжності від 1/? до 1/? m. Більш сильні ніж 1/? розбіжності природно компенсуються у кожному наближенні ТЗ. У двох перших наближеннях ТЗ при обмеженні одним членом розкладу по D 2для ? E ? (? 0) маємо: