Тени разума. В поисках науки о сознании - Пенроуз Роджер - Страница 119

Для любой точки αна сфере Римана антиподальной является точка —1/ α'. Таким образом, если отразить все майорановы точки, являющиеся корнями полинома

относительно центра сферы, то мы получим корни полинома

Пусть состояния | α〉 и | β〉 заданы, соответственно, полиномами a( x) и b( x), где

тогда их скалярное произведение имеет вид

Это выражение инвариантно относительно вращений сферы, что можно непосредственно доказать, используя вышеприведенные формулы.

Применим полученное выражение для скалярного произведения к конкретному случаю b( x) = a*( x), т.е. к случаю двух состояний, майораново описание одного из которых состоит исключительно из точек, антиподальных точкам, составляющим майораново описание другого. Их скалярное произведение равно (с точностью до знака)

Нетрудно заметить, что при отрицательном nвсе члены выражения взаимно уничтожаются, а значит, можно сформулировать следующую теорему (напомним, что состояние, майораново описание которого имеет вид, скажем, P, Q, …, S, обозначается через |PQ…S〉; точка, антиподальная X, обозначается X*):

Из общего выражения для скалярного произведения можно вывести еще два свойства:

(Центром тяжести множества точек называют центр тяжести совокупности равных точечных масс, размещенных в этих точках. О стереографических проекциях мы говорили в §5.10, рис. 5.19.) Для доказательства  C.3развернем сферу так, чтобы точка P* стала ее южным полюсом. Тогда состоянию |QPP…P〉 соответствует полином x n - 1( x - χ), где χопределяет точку Q на сфере Римана. Вычислив скалярное произведение этого состояния с состоянием, представленным полиномом ( x - α 1)( x - α 2)( x - α 3)…( x - α n), майораново описание которого составляют корни α 1, α 2, α 3, …, α n, находим, что это произведение обращается в нуль, когда

т.е. когда —1/ χ' равно ( α 1+  α 2 + α 3+ … + α n)/ n, иначе говоря, когда точка —1/ χ' является центром тяжести (на комплексной плоскости) множества точек α 1, α 2, α 3, …, α n. Что и доказывает свойство C.3. Для того чтобы доказать C.2, поместим в южный полюс точку P. Тогда состоянию |PPP…P〉 соответствует постоянная величина, 1. Если рассматривать ее как полином степени n, то соответствующее скалярное произведение обращается в нуль, когда

т.е. когда хотя бы одна точка из множества α 1, α 2, α 3, …, α nравна 0 или, что то же самое, совпадает с северным полюсом сферы — в данном случае, с точкой P*. Что, собственно, и требовалось доказать.

Свойство C.2позволяет интерпретировать майорановы точки в физическом смысле. Исходя из него, можно предположить, что эти точки определяют направления, измерение (типа измерения Штерна—Герлаха) спина в которых дает нулевую вероятность того, что полученное в результате измерения направление оси спина окажется диаметрально противоположным тому направлению, в котором это измерение выполнялось (см. НРК, с. 273). Кроме того, из C.2можно вывести свойство для частного случая: если спин равен 1/2 ( n= 1), то ортогональными являются исключительно те состояния, майорановы точки которых антиподальны. Свойство  C.3позволяет получить общую геометрическую интерпретацию ортогональности в случае спина 1 ( n= 2). Примечателен частный случай, когда имеются два состояния, представленные в виде двух пар антиподальных точек, причем прямые, соединяющие эти точки, пересекаются в центре сферы под прямым углом. В случае спина 3/2 ( n= 3) свойства  C.3(с некоторой оглядкой на C.1) вполне достаточно для подкрепления объяснений, предложенных в §5.18. (Геометрическую интерпретацию ортогональности в общем случае я здесь давать не буду; может быть, как-нибудь в другой раз.)

Упоминаемое в §5.18частное следствие из  C.3относится к частному случаю, когда P и Q являются соседними вершинами куба, вписанного в сферу Римана, т.е. PQ и Q*P* — противоположные ребра этого куба. Длина отрезка PQ* (или QP*) равна длине PQ (или P*Q*), умноженной на √2. Посредством несложных геометрических рассуждений можно показать, что состояния |P*PP〉 и |Q*QQ〉 ортогональны.

6. Квантовая теория и реальность

6.1. Является ли R реальным процессом?

В предыдущей главе мы сделали попытку понять и принять головоломные Z-загадки квантовой теории. Не все эти феномены получили на настоящий момент экспериментальное подтверждение — например, квантовая сцепленность на расстоянии нескольких световых лет {72} — и тем не менее, уже накопленных экспериментальных данных, свидетельствующих о существовании такого рода эффектов, вполне достаточно, чтобы убедиться в том, что Z-загадки и в самом деле следует принимать всерьез, поскольку они отражают истинные аспекты поведения самых разных объектов, составляющих тот мир, в котором мы живем.