Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M - Коллектив авторов - Страница 85
ИНТУИЦИОНИЗМ— одно из трех главных направлении (наряду с логицизмам и формализмом), традиционно выделяемых в основаниях математики. Основное отличие интуиционизма от других направлений в том, что он ставит иную цель математике: не доказательство «истинных» теорем, а поиск математических (умственных, в терминологии первоначального интуиционизма) конструкции, органично соединяющих в себе построение и его обоснование. Для общей характеризации направлений, выросших из интуиционизма, часто пользуются термином конструктивизм. Поэтому стоит различать интуиционизм в узком смысле (брауэ- ровский), российский конструктивизм (см. Конструктивное направление) и различные частично конструктивные направления, часто также называемые современным интуиционизмом. Предшественниками интуиционизма являются немецкий математик 19 в. Л. Кронекер, французские эффективисты (см. Эффективизм), А. Пуанкаре и Э. Борель. Они с разных позиций отмечали признаки неблагополучия в математике, связанные с тем, что в классической математике доказательства многих теорем существования не дают построений искомых объектов, и пытались несколько ограничить математические конструкции для устранения данного недостатка. Началом интуиционизма как направления считается 1907, когда JI, Э. Я. Брауэр показал, что косметическим ремонтом выявившееся расхождение понятий «существование» и «построение» не устранить и что корни многих нежелательных свойств классической математики уходят в классическую логику. До 1945 интуиционизм развивался преимущественно в Голландии, хотя некоторые фундаментальные работы были созданы в России, Австрии и Польше учеными, не причисляв-
136
ИНТУИЦИОНИЗМ шими себя к данному направлению. Ныне самой сильной школой интуиционизма остается голландская, но, помимо нее, имеются, в частности, американская и русская школы. Основания для выводов Брауэра — с несколько модернизированной точки зрения — таковы: Согласно теореме Геделя о неполноте в достаточно богатой теории имеется такая формула G, что ни она, ни ее отрицание недоказуемы. При помощи классической логики легко вывести 3jc((G=>jc = 0)&(1 G=>jc=1)) Обозначим данную формулу 3 хА(х). Ни для какого конкретного ха нельзя доказать А(х^. В теории множеств ситуация ухудшается лишь незначительно. Аксиома выбора дает возможность построить такую доказуемую формулу 3 хЩх)у что нельзя построить формулу С(х), для которой 3 ! х С(х) и Vх(С(х) => Щх)). Такая же ситуация возникает при использовании альтернативы к аксиоме выбора — аксиомы детерминированности. Согласно анализу А А Маркова, классическая математика базируется на трех абстракциях: абстракции отождествления, не позволяющей использовать свойства, различающие равные объекты; абстракции потенциальной осуществимости, позволяющей пренебречь физическими ограничениями на реализуемость очень больших конечных объектов и процессов, и абстракции актуальной бесконечности, дающей возможность мыслить бесконечные совокупности как завершенные и использовать бесконечные множества и бесконечные процессы для построения других математических объектов. Брауэр принял две первые абстракции и отверг третью. В этом с ним солидарны почти все нынешние продолжатели конструктивных традиций в математике. В некоторых разделах современного интуиционизма это допущение ослабляется, а в некоторых — усиливается. Но в любом случае принимаются во внимание принципиальные ограничения выполнимых построений: необходимость сведения любой новой задачи к уже решенным, чтобы представить новое построение как композицию старых. При таком подходе логика не может рассматриваться как нечто данное a priori, она должна подбираться в соответствии с классом рассматриваемых объектов и с классом допустимых методов решения задач. Так, классическая логика оказывается либо логикой конечных объектов, либо логикой всех теоретико-множественных построений с аксиомой выбора. Сама интерпретация логических формул изменяется в корне. Значения истинности представляют собой нечто второстепенное по сравнению с конкретным построением, проведенным при доказательстве теоремы. Поэтому формулы интерпретируются как задачи, логические связки — как преобразования задач, методы доказательства — как методы сведения новых задач к уже решенным либо принятым в качестве решенных. Брауэр предложил воспользоваться для перестройки математики логикой, подобной классической, за исключением законов исключенного третьего и снятия двойного отрицания (которые в данном контексте эквивалентны) — интуиционистской логикой. Он отказался от многих объектов, созданных в теоретико-множественной математике, и ограничился теми, которые хотя бы косвенно сводятся к двум исходным сущностям: к конструктивным объектам, строящимся как конечные конструкции из конечного числа исходных ясно различимых объектов, и к последовательностям выбора, представляющим из себя методы последовательного конструирования потенциально бесконечного числа исходных объектов. Примерами последовательностей выбора являются алгоритмы, последовательности измерений физических величин и т. п. Первоначально Брауэр пытался прямо перестроить основные разделы математики, при этом он, в частности, раньше, чем это было сделано классическими средствами, установил важный результат (теорема о веерах или лемма Кёнига): дерево с конечным ветвлением и конечными путями конечно. Перестройка математики, осуществлявшаяся Брауэром, отличалась максимальной осторожностью при соблюдении принципов конструктивности. Он стремился спасти все, что можно было спасти. Примеры гораздо более жестких подходов продемонстрировали Р. Л. Гудстейн и Н. А. Шанин. Наиболее интересны следующие результаты Брауэра. Операторы над последовательностями выбора должны использовать конечное число значений последовательности для получения конечной выходной информации. На основе этого он доказал непрерывность интуиционистски определимых функций действительной переменной. Брауэр показал, что на самом деле в разных областях математики использовались разные понятия функции действительной переменной, в частности, что измеримые функции не стоит для конструктивных целей трактовать как операторы над действительными числами. Сразу же после формализации интуиционистской логики многие математики начали развивать вариации интуиционизма, либо еще сильнее ограничивая логику, либо еще сильнее ограничивая объекты. Иохансон предложил использовать в качестве основы для интуиционизма минимальную логику, но оказалось, что в любой теории, содержащей натуральные числа, интуиционистское отрицание определимо, и переход к минимальной логике ничего нового не дает. Д. Грис предложил рассматривать безотрицательную математику, в которой запрещены пустые понятия типа квадратного круга. Продвижение в данном направлении идет весьма медленно из-за необычности и трудности возникающих конструкций. Новый импульс исследованиям в области интуиционистских понятий дали интерпретация интуиционистской логики Колмогоровым и ее (логики) формализация А Гейтингом. На этой основе и на основе точного понятия алгоритма (см. алгоритм) С. К Клики (1945) дал первую точную классическую модель неклассической математики: понятие реализуемости. В интерпретации Клини стало возможным формально выразить тезис Чёрча как схему аксиом. А. А. Марков (1947) и советская школа конструктивизма развили вариант математики, последовательно проводящий идею о том, что нет ничего, кроме конструктивных объектов, а алгоритмы отождествляются с их программами. Он ввел «принцип Маркова», явно разделивший обоснования и построения, разница между которыми с самого начала ощущалась в интуиционизме. Содержательно принцип Маркова гласит, что для обоснования уже проделанных построений можно пользоваться классической логикой (это показал Н. А. Шанин, построив алгоритм конструктивной расшифровки, разбивающий любую формулу на явное построение и классическое обоснование данного построения). Польская школа пошла по другому пути, ограничиваясь конструктивными объектами, но сохраняя классическую логику. Реализуемость выявила, что интуиционистские теории могут расходиться с классическими. Напр., если А(х) — неразрешимое свойство натуральных чисел, то конструктивно верна формула - \/х(А(х) V \А(х)).
- Предыдущая
- 85/406
- Следующая