Философы Древней Греции - Брамбо Роберт - Страница 9

Пифагорейцы обнаружили, что могут думать по тому же методу и о формах. Вместо того чтобы думать о конкретных треугольных участках земли, они могли думать о треуголъности, о любом треугольнике или любом прямоугольном треугольнике6. Сегодня нам, поскольку мы привыкли к чисто отвлеченным математическим понятиям и к мыслительной операции обобщения, трудно оценить по достоинству новизну этого вклада пифагорейцев в науку. И, правду говоря, некоторые стороны их математики поражают нас своей странностью. Во-первых, значительная часть этой новой математики не была чистой, поскольку сильно зависела от рисунков и от воображения. Числа у пифагорейцев имели форму и даже были личностями. Как понятие материи у философов милетской школы, понятие числа должно было пройти путь развития от интуиции до постулата (историки математики часто это скрывают: сообщают только о некоторых теоремах и идеях – тех, которые математически чисты, – и пренебрегают всем остальным). Но возможно, еще поразительнее для нас тот огромный почти религиозный восторг, с которым пифагорейцы относились к математике. Новое понимание формы озарило умы своих древних первооткрывателей с силой, равной силе мистического откровения.

Некоторое представление о степени развития математики в эпоху от Пифагора до Платона мы можем получить из текстов по геометрии, изложенных в книгах 1–5 «Элементов» Евклида, а эти книги – новая редакция более ранних пифагорейских трактатов по геометрии7. Кроме того, получить ответ нам помогают рассказы и некоторые теоремы. «Теорема Пифагора», предположительно открытая самим Пифагором, породила много легенд. Аристотель сообщает, что пифагорейцы знали и давали ученикам своей школы еще в начале учебы доказательство того, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с этой стороной. Это доказательство, которое мы применяем до сих пор, показывает, что техника построения доказательств и способность при необходимости мыслить отвлеченно у пифагорейцев достигали очень высокого уровня8. Сообщения о том, что пифагорейцы отождествляли правильные геометрические тела с молекулами материального мира, говорят, что ученых этой школы интересовало применение математических методов к изучению твердых тел и применение математики к естественным наукам. Мы также обнаружим сообщение о «сите» – методе, позволявшем выбрать из последовательности чисел все простые числа, и своеобразные зачатки теории чисел.

Этих подсказок достаточно, чтобы стало очевидно, что речь идет действительно о качественно новом понимании формы. Теперь нам нужно рассмотреть философские последствия утверждения, что «числа – это вещи», которое обобщает эти новые представления. Может быть, мысль пифагорейцев станет яснее, если мы перефразируем эти слова и скажем «числа реальны», поскольку слово «вещи» в современном языке ассоциируется с материальными предметами, а это искажает смысл изречения. Но в каком смысле числа или формы реальны? Во-первых, они существуют независимо от наблюдателя: хотим мы того или нет, два плюс два всегда будет равно четырем, и два всегда будет четным простым числом. У них, в отличие от бесформенной или безграничной пустоты Анаксимандра, есть точные индивидуальные характеристики: каждое число является только самим собой. Числа – нечто общее для всех: они для всех наблюдателей одни и те же, в отличие от субъективных фантазий какого-либо человека или проходящих со временем впечатлений. Они системно связаны между собой. Всех этих свойств, кажется, достаточно для того, чтобы признать форму, число и соотношение чисел чем-то реальным. Но они реальны по-иному, чем материальные объекты: в отличие от них, числа не имеют ни прошлого, ни места в пространстве и существуют в мире, где нет ни движения, ни изменения. И числа видимы только уму: мы не можем коснуться их или смотреть на них, как смотрим на камень или ручей. Таким образом, перед философией возник, кроме мира физических реальностей, признанного милетцами, еще целый новый мир, который можно использовать9. И этот мир реально имел отношение к интересам и проблемам людей, поскольку его абстрактные соотношения и фигуры давали науке инструменты для познания природы10.

И все же у пифагорейцев, несмотря на отмечаемое иногда изящество доказательств и определений, числа были гораздо теснее связаны с воображением, чем наши сегодняшние абстрактные числа11. Пифагорейцы представляли себе числа как «группы единиц» (монад) и считали, что «естественный» способ записи чисел – изображение их в виде групп точек, при котором у каждого числа была собственная характерная для него естественная монадная структура. Этим способом мы до сих пор изображаем числа на домино и игральных костях, а ассоциативная связь между числами и пространственными фигурами сохранилась в современных терминах «квадратные» и «кубические» числа. Фактически в течение всего Средневековья «фигурные числа» были стандартным крупнейшим разделом арифметики. Школьники заучивали теоремы о том, что, например, суммы последовательных целых чисел «треугольны», то есть составляющие их числа можно изобразить в виде треугольника (как в «тетрактисе десятки» на схеме, которая приведена ниже). Эта смесь воображения и абстракции позволяла легко ассоциировать числа с формами и предметами. Например, изображение чисел в виде группы единиц предполагало какую-то связь между единицами в арифметике и точками пифагорейской геометрии, и некоторые члены пифагорейской школы пытались построить физический мир из пространственных точек.

Для математика-пифагорейца числа не только продолжали нести в себе представление о физической форме и узоре, но имели и другие качества. У каждого числа были черты личности – оно могло быть мужским или женским, совершенным или несовершенным, красивым или уродливым. Современная математика постепенно избавилась от такого ощущения чисел, но его отголоски мы до сих пор находим в художественной литературе и поэзии. Самым лучшим числом было десять: оно содержало в себе четыре первых целых числа – один, два, три и четыре – и в точечной записи они образовывали совершенный треугольник. Списки чего-либо у пифагорейцев обычно делились на группы по четыре или по десять строк. Позже история чисел на Западе сложилась так, что математика пошла своим собственным путем, а идея личностных свойств и ценностных качеств чисел породила целую традицию в магии, нашедшую отражение в нумерологии и геомантике12.

Поскольку математика пифагорейцев еще не достигла идеальной чистоты, они легко поверили в то, что «вещи – это числа». Интуитивное философское представление, выраженное этими словами, таково: определенная количественная форма вещи дает ей индивидуальность. Например, различные виды животных различаются между собой количеством и формой частей тела13. Уберите форму, и останется только лужа бесформенного вещества.

Математика и космология пифагорейцев

I. Фигурные числа

Чтобы показать, как каждое число складывается из монад, в пифагорейской системе «естественной» записи эти группы монад изображали с помощью маленьких букв альфа. Например, получались следующие соответствия:

Изучение «фигурных чисел» развивалось по пути выяснения того, какую (в обобщенном виде) форму имеют числа, которые могут быть записаны в определенном виде. Например, произведения двух одинаковых сомножителей все были «квадратными». Суммы последовательных целых чисел, например, 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4 и так далее, имеют «треугольную» форму.

II. Тетрактис десятки

Фигурой, обладающей самыми чудесными свойствами, сочетающей в себе четыре первых целых числа, треугольную форму и «совершенное число» десять, был «тетрактис десятки» – треугольник из десяти монад, сложенный из целых чисел 1, 2, 3 и 4: