Математика. Поиск истины. - Клайн Морис - Страница 36

Но коль скоро Земля силой своего тяготения может заставить Луну обращаться вокруг нее, то и Солнце силой своего тяготения могло бы заставить планеты обращаться вокруг него. Поэтому у Ньютона были некоторые основания надеяться на успех дерзкого замысла: доказать, что та же самая сила, которая притягивает тела к Земле, заставляет Луну обращаться вокруг Земли и планеты вокруг Солнца.

Все рассуждения Ньютона, о которых мы упоминали до сих пор, были чисто качественными и умозрительными. И чтобы сделать решительный шаг вперед, необходимо было придать им количественный характер. Продолжая рассуждать о действующей на Луну силе земного притяжения, Ньютон пишет дальше:

Рассуждение Ньютона, с помощью которого он показывает, что одна и та же формула применима и к земным, и к небесным телам, ныне считается классическим. Мы приведем здесь его в несколько упрощенном виде, который тем не менее правильно передает самую суть. Орбиту Луны приближенно можно считать окружностью. Так как Луна (рис. 27) движется не по прямой MP, ее, очевидно, притягивает к Земле какая-то сила. Если MP— расстояние, которое Луна проходит за 1 с в отсутствие силы тяготения, то РМ'— расстояние, на которое Луна смещается к Земле за ту же секунду под действием силы тяготения. Ньютон принял расстояние РМ'за меру силы, с которой Земля притягивает Луну. Соответствующая величина для тела, находящегося вблизи поверхности Земли, составляет примерно 9,8 м; если тело выпустить из рук, то под действием земного тяготения оно за первую секунду пройдет расстояние, равное 9,8 м. Ньютон вознамерился показать, что одна и та же сила заставляет Луну проходить за 1 с расстояние РМ'а тело вблизи поверхности Земли пролетать в свободном падении 9,8 м.

Приближенные оценки привели его к мысли, что сила притяжения между телами зависит от квадрата расстояния между центрами тел и что с увеличением расстояния эта сила убывает. Расстояние между центром Луны и центром Земли примерно в 60 раз больше радиуса Земли. Следовательно, на Луну Земля действует в 60 2раз слабее, чем на тело, находящееся вблизи земной поверхности, т.е. сила действия Земли на Луну составляет 1/(60) 2от той силы, с которой она притягивает земные тела. Но это означает, что под действием земного притяжения Луна должна приближаться к Земле за 1 с на расстояние, равное 9,8/(60) 2= 0,0027 м. Произведя некоторые численные тригонометрические расчеты, Ньютон обнаружил, что Луна действительно притягивается Землей силой «в точности надлежащей величины». Тем самым он получил весьма убедительное подтверждение своей гипотезы: всетела в мире притягиваются друг к другу по одному и тому же закону.

Более тщательные исследования Ньютона показали, что сила тяготения, действующая между любымидвумя телами, определяется формулой

где F— сила тяготения,  Mи  m— массы тел,  r— расстояние между ними, коэффициент kодинаков для всех тел. Например,  Mможет означать массу Земли,  m— массу какого-либо тела, находящегося вблизи поверхности Земли. В этом случае  r— расстояние от центраЗемли до тела. Формула (1)выражает закон тяготения.

Чтобы подвести прочную основу под все свое грандиозное исследование земных и небесных движений, Ньютон сформулировал в своих «Началах» три закона движения, известные ныне как законы Ньютона (хотя первые два закона были сформулированы еще Декартом и Галилеем). Первый закон Ньютона:

Второй закон Ньютона:

Результирующую всех действующих на тело сил можно представить в виде произведения массы тела на ускорение, создаваемое этой силой:

Ускорение характеризует увеличение или уменьшение скорости тела либо изменение ее направления. (Математически Fи  a— векторы.)

Третий закон Ньютона:

К этим трем законам Ньютон добавил закон всемирного тяготения (1). Применительно к движениям планет этот закон был открыт Робертом Гуком, но Ньютон обобщил его и возвел в ранг универсального закона, применимого ко всем телам во Вселенной.

Получив некоторые подтверждения справедливости закона всемирного тяготения, Ньютон показал далее, что этот закон применим к движениям на поверхности Земли или вблизи нее. И здесь ему помогли труды Галилея. Перейдем на язык формул. Пусть  M— масса Земли,  m— масса тела, находящегося вблизи земной поверхности. Записав формулу (1)в виде F = kMm/r 2и разделив обе части на m, получим

Независимо от того, какое тело вблизи поверхности Земли мы рассматриваем, величины, входящие в правую часть формулы (2), остаются неизменными, так как  r— радиус Земли (~6400 км),  M— масса Земли, а постоянная  kодинакова для всех тел.

Но второй закон Ньютона утверждает, что любая сила, действующая на тело массой m, сообщает этому телу ускорение. В частности, сила притяжения Земли, действующая на тело, также сообщает ему ускорение. Из второго закона Ньютона следует, что любая сила Fсвязана с вызванным ею ускорением соотношением F = ma, или

Следовательно, если сила Fв формуле (2)есть сила земного тяготения, то правые части формул (2)и (3)можно приравнять, так как левые части равны. В результате получаем

Это соотношение означает, что ускорение, сообщаемое телу силой земного тяготения, всегда равно kM/r 2. Поскольку  k— постоянная,  M— масса Земли,  r— расстояние от тела до центра Земли, величина kM/r 2одинакова для всех тел, находящихся вблизи поверхности Земли. Следовательно, все тела вблизи поверхности Земли падают с одинаковым ускорением. Именно к такому выводу пришел на основании своих опытов Галилей. Более того, опираясь на этот результат, Галилей математически доказал, что все тела, падающие с одинаковой высоты, достигают поверхности Земли за одно и то же время. Ускорение свободного падения, которое принято обозначать буквой g, легко измерить: оно равно 9,8 м/с 2.