Квантовая магия - Доронин Сергей Иванович - Страница 34

Несмотря на то, что матрица плотности в настоящее время является основным теоретическим инструментом в квантовой механике, ее роль и значение неспециалисты часто недооценивают и по старинке продолжают рассуждать в терминах волновой функции даже тогда, когда нельзя пренебречь корреляциями системы с окружением. Пси-функция (волновая функция) с легкой руки Шредингера оказалась настолько «въедливой», что даже те, кто искренне пытается понять квантовую теорию, но все же далеки от нее, не осознают все значение матрицы плотности. Например, Р.

Пенроуз

в своей замечательной книге «Новый ум короля» после рассуждений о коте Шредингера (что он также по старинке делает в терминах пси-функции) лишь вскользь упоминает [78]о матрице плотности. Он посвящает ей один маленький абзац странного содержания, свидетельствующий о полном непонимании значения матрицы плотности и той исключительно важной роли, которую она играет в квантовой механике.

Пенроуз

пишет:

«Иногда высказывают мнение, что сложные системы должны в действительности описываться не „состояниями“, а их обобщением, получившим название матриц плотности (фон Нейман [1955]). Последние включают в себя и классические вероятности, и квантовые амплитуды. В этом случае для описания реальности берется много квантовых состояний. Матрицы плотности полезны, но сами по себе они не решают глубоко проблематичные вопросы квантового измерения».

Оставлю этот абзац без комментариев. Замечу только, что даже дата введения в квантовую механику понятия «матрица плотности» названа неправильно — 1955 год вместо 1927-го.

Если бы в квантовой теории не было матриц плотности, то вообще невозможно было бы описывать открытые системы и говорить о частях составной системы, когда они взаимодействуют друг с другом. Именно в матрице плотности содержится информация о корреляциях с окружением — в векторе состояния (пси-функции) такой информации нет.

Итак, любая система, взаимодействующая со своим окружением, описывается матрицей плотности и не может быть описана вектором состояния. В свою очередь, любое чистое состояние, описываемое волновой функцией, также можно описать и матрицей плотности. Она получается из вектора состояния в виде проектора |ΨñáΨ|, то есть вектор-столбец нужно умножить на вектор-строку (комплексно сопряженную), и мы получим матрицу плотности чистого состояния. Таким образом, в терминах матрицы плотности можно описывать как чистые, так и смешанные состояния, как замкнутые системы, так и системы, взаимодействующие со своим окружением. Поэтому матрица плотности является общим инструментом для квантового описания в терминах состояний. Она работает даже там, где нельзя применить вектор состояния (волновую функцию).

Когда мы говорим о матрице плотности, сразу возникает вопрос: о какой плотности идет речь? Здесь имеется в виду плотность распределения вероятности различных состояний рассматриваемой системы. Данный термин идет еще от классической механики и статистической физики, когда классическое состояние задается точкой в фазовом пространстве. При этом предполагается, что конкретное состояние неизвестно, а известна лишь вероятность того, что система находится в том или ином состоянии из некоторого множества

допустимых

. Система тогда рассматривается подобно жидкости в фазовом пространстве. В этом случае ее масса в произвольном объеме фазового пространства считается равной полной вероятности того, что система пребывает в каком-либо из состояний, соответствующих точкам данного объема. Затем вводится плотность этой жидкости в данной точке, равная вероятности (на единицу объема фазового пространства) того, что система будет близка к данному состоянию. Отсюда и пошло это название.

Матрица плотности содержит вероятностисостояний. Если речь идет о физике, то из вектора состояния (матрицы плотности) можно получить все физические величины (динамические переменные), которые используются при классическом описании системы (энергию, координаты, импульсы, моменты импульсов и т. д.). Причем величины не только скалярные, но и векторные, а также функции от этих величин. В квантовой механике динамическим переменным системы (физическим величинам) ставятся в соответствие линейные самосопряженные операторы. Это один из основных постулатов квантовой теории — соответствие «

оператор — физическая

величина».

Вектор состояния и матрица плотности могут применяться для квантового описания (в терминах состояний) и в

более общем

случае, когда мы имеем дело не с физикой, а, скажем, с текстовыми сообщениями (и любой другой информацией). Этот подход широко применяется сейчас в квантовой теории информации.

Часто используется стандартный базис — из чисел в двоичной системе: 0…00, 0…01, 0…10, 0…11 и т. д. Так делается в компьютерах, где любая информация записывается в двоичном базисе.

Этот базис применяется и в физике: например, в случае спиновых степеней свободы каждая позиция соответствует двум возможным состояниям одного спина во внешнем магнитном поле (0-спин-вверх, 1-спин-вниз).

Сумма диагональных элементов, то есть следматрицы плотности равен единице. Так, в квантовой теории информации, когда пересылается какое-либо сообщение, возможны искажения, и получателю может прийти не то, что было послано: к примеру, вместо одной буквы — другая. Набор основных состояний системы (диагональные элементы матрицы плотности) характеризует все возможные варианты таких искажений (их вероятности), а «приемник» прочитает только один из них. То есть будет реализован один из искаженных вариантов с соответствующей вероятностью, а сумма вероятностей (след матрицы плотности) должен быть равен единице.

Еще одно важное свойство матрицы плотности — это ее

эрмитовость

. Попросту говоря, любая матрица плотности должна быть симметричной (в вещественном случае), ее недиагональные элементы расположены парами симметрично относительно главной диагонали. В комплексном случае эти пары будут комплексно сопряженными — это и есть

эрмитова

матрица. Такая симметричная структура матрицы плотности является следствием того, что корреляции в системе всегда выступают парами: если одна подсистема взаимодействует с другой, то и вторая

коррелирует

с первой — это одно и то же взаимодействие. Только, когда речь идет о матрице плотности, более правильно говорить о наборе различных основных состояний системы (диагональные элементы) и о корреляциях между ними (недиагональные элементы). По диагонали матрицы плотности стоят вероятности «проявления» дискретных состояний при декогеренции (в случае исходного нелокального состояния). Например, у кубита два локальных состояния 0 и 1, их вероятности — это | a| 2и | b| 2, то есть существует бесконечное число различных вариантов весовых соотношений при наложении (суперпозиции) этих двух состояний. А недиагональные элементы характеризуют корреляции между данными основными состояниями, в случае кубита — это

ab

*и

ba

*, звездочка здесь — знак комплексного сопряжения. Пространство состояний для матрицы плотности — не только набор всех дискретных (базисных) состояний, это и все возможные корреляции между ними. Полный набор возможных локальных состояний — лишь диагональные элементы матрицы плотности. Из-за того, что учитываются все возможные связи между состояниями, число элементов в матрице плотности увеличивается экспоненциально с числом кубитов Nи равно 2 N × 2 N .

Другое свойство любой матрицы плотности — ее

положительная

полуопределенность

. Все собственные значения матрицы плотности вещественны (нет комплексных чисел) и неотрицательны (больше нуля или равны ему). Для матрицы плотности всегда существует унитарное преобразование, которое приводит ее к диагональной форме, и по диагонали будут стоять неотрицательные вещественные числа. В случае чистых состояний ситуация еще проще — матрица плотности такого состояния имеет только одно ненулевое собственное значение (равное единице), а все остальные равны нулю.