Первые три минуты - Берков Александр Викторович - Страница 41

Постоянная Хаббла пропорциональна ? 1/2, и поэтому

Но тогда скорость типичной галактики

Элементарным результатом дифференциального исчисления является то, что если скорость пропорциональна какой-то степени расстояния, тогда промежуток времени, необходимый для того, чтобы попасть из одной точки в другую, пропорционален изменению отношения расстояния к скорости. Более точно, если  ?пропорциональна R 1-n/2, это соотношение имеет вид

или

Можно выразить H(t)через ?(t), после чего получим

Таким образом, независимо от величины nпройденное время пропорционально изменению квадратного корня из обратной величины плотности.

Например, в течение всей эры преобладания излучения после аннигиляции электронов и позитронов плотность энергии равнялась

(см. мат. доп. 6). Кроме того, в этом случае n= 4. Таким образом, время, необходимое, чтобы Вселенная охладилась от 100 миллионов градусов до 10 миллионов градусов, составляет

Наш общий результат можно также выразить более просто, записав, что время, необходимое, чтобы плотность упала до значения  ?от некоторого значения, много большего, чем ?, равно

(Если ?(t 2) >> ?(t 1), мы можем пренебречь вторым членом в нашей формуле для t 1— t 2) Например, при температуре 3000 К плотность массы фотонов и нейтрино равнялась

? = 1,22 ? 10 -35? 3000 4г/см 3= 9,9 ? 10 -22г/см 3.

Это настолько меньше, чем плотность при температуре 10 8К (или 10 7К, или 10 6К), что время, требуемое на то, чтобы Вселенная охладилась от очень высоких температур на ранней стадии до 3000 К, можно рассчитать (полагая n= 4) просто как

Мы показали, что время, необходимое, чтобы плотность Вселенной упала до значения  ?от значительно больших ранних значений, пропорционально 1/ ? 1/2, в то время как плотность  ?пропорциональна 1/ R n. Поэтому время пропорционально R n/2или, другими словами,

Это остается справедливым до тех пор, пока кинетическая и потенциальная энергии не уменьшатся настолько, что станут сравнимы с их суммой — полной энергией.

Как отмечено в гл. II, в каждый момент времени tпосле начала имеется горизонт на расстоянии порядка ct, из-за которого никакая информация все еще не может нас достичь. Теперь мы видим, что при t > 0  R(t)уменьшается менее быстро, чем расстояние до горизонта, так что в достаточно ранние моменты времени любая данная «типичная» частица была за горизонтом.

ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНОГО ТЕЛА

Распределение Планкадает энергию duизлучения черного тела в единице объема, приходящуюся на узкий интервал длин волн от  ?до  ? + d?, в виде

Здесь Т— температура; k= 1,38 ? 10 -16эрг/К — постоянная Больцмана; с= 299 792 км/с — скорость света; е= 2,718… — числовая постоянная; h= 6,625 ? 10 -27эрг?с — постоянная Планка, впервые введенная Максом Планком в качестве составной части этой формулы.

Для большихдлин волн знаменатель в распределении Планка можно приближенно записать в виде

Следовательно, в этой области длин волн распределение Планка дает

Это — формула Рэлея-Джинса. Если ее применить для произвольно малых длин волн, то du/d?станет бесконечной при  ?> 0 и полная плотность энергии излучения черного тела будет бесконечной.

К счастью, duв формуле Планка достигает максимума при длине волны

и затем плавно спадает с уменьшением длины волны. Полная плотность энергии излучения черного тела равна интегралу

Подобные интегралы можно найти в стандартных таблицах определенных интегралов; в результате

Это — закон Стефана-Больцмана.

Мы можем легко интерпретировать распределение Планка в терминах квантов света или фотонов. Каждый фотон имеет энергию, определяемую формулой

Отсюда, число фотонов dNв единице объема излучения черного тела, приходящееся на узкий интервал длин волн от  ?до  ? + d?, равно

Полное число фотонов в единице объема 1 см 3равно тогда

а средняя энергия фотона:

Рассмотрим теперь, что происходит с излучением черного тела в расширяющейся Вселенной. Предположим, что размер Вселенной изменился в fраз; например, если Вселенная удваивается в размере, то f= 2.

Как мы видели в главе II, длины волн изменяются пропорционально размеру Вселенной и будут иметь новое значение

После расширения плотность энергии du'в новом интервале длин волн от ?'до ?'+ d?'меньше первоначальной плотности энергии duв старом интервале длин воли от  ?до  ? + d?по двум различным причинам.

1. Так как объем Вселенной увеличился в f 3раз, то до тех пор, пока не рождалось и не уничтожалось никаких фотонов, их число в единице объема уменьшилось в f 3раз, т. е. изменилось на множитель 1/ f 3.

2. Энергия каждого фотона обратно пропорциональна его длине волны и поэтому уменьшилась на множитель 1/ f. Отсюда следует, что плотность энергии уменьшилась на общий множитель 1/ f 3, умноженный на 1/ f, то есть на множитель 1/ f 4:

Если мы теперь перепишем эту формулу, введя новую длину волны ?', то она примет вид

Но это в точности та же формула, что и старая формула для du, выраженная через  ?и d?, за исключением того, что Тзаменяется новой температурой

Следовательно, мы заключаем, что свободно расширяющееся излучение черного тела продолжает описываться формулой Планка, но с температурой, падающей обратно пропорционально масштабу расширения.

ДОПОЛНЕНИЕ 5. МАССА ДЖИНСА

Для того чтобы сгусток вещества образовал гравитационно связанную систему, необходимо, чтобы его гравитационная потенциальная энергия превысила внутреннюю тепловую энергию. Гравитационная потенциальная энергия сгустка радиуса rи массы  Mпорядка