Вы читаете книгу
Апология математики, или О математике как части духовной культуры
Успенский Владимир Андреевич
Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Апология математики, или О математике как части духовной культуры - Успенский Владимир Андреевич - Страница 13
Но не окажутся ли все вообще бесконечные множества эквивалентны друг другу? Великое открытие Кантора состояло в том, что он обнаружил неэквивалентные бесконечности. Так, одна из его замечательных теорем гласила, что множество всех точек прямой и множество всех натуральных чисел неэквивалентны. Оказалось, что наиболее знакомые нам бесконечные множества подразделяются на два основных рода, так что множества первого рода эквивалентны друг другу и множества второго рода эквивалентны друг другу, а множества разных родов друг другу не эквивалентны. Множества первого рода называются счётными, к ним относятся: натуральный ряд, любая бесконечная часть натурального ряда (например, множество всех квадратов), множество всех дробей, множество всех мыслимых комбинаций (как ведущих к выигрышу, так и проигрышных) пластинок из четырёхчленого набора, заявленного в игре предыдущей главы. Множества второй категории называются континуальными; таковы множество всех точек прямой, всех точек плоскости, всех окружностей, множество всех частей натурального ряда. Бывают и такие бесконечные множества, которые не являются ни счётными, ни континуальными, но в “математическом быту” такие множества почти не встречаются.
Позволим себе теперь рассматривать и другие числа, помимо натуральных, - те, о которых говорилось в главе 4 “Длины и числа”. Хотя каждое рациональное число может быть записано посредством многих дробей, а более точно - бесконечного их количества, множество рациональных чисел оказывается эквивалентным множеству дробей, то есть счётным. С другой стороны, как известно из средней школы, каждому действительному числу можно поставить в соответствие некоторую точку на прямой, и при этом каждая точка будет сопоставлена ровно с одним числом, своей координатой; тем самым обнаруживается, что множество точек прямой и множество действительных чисел эквивалентны и, следовательно, множество действительных чисел континуально. Как было сообщено в предыдущем абзаце, континуальность и счётность не могут сочетаться в одном и том же множестве. Поэтому множество рациональных чисел не может совпасть с множеством всех действительных чисел, а отсюда следует, что существуют такие действительные числа, которые не являются рациональными; их называют иррациональными. Таким образом, сам факт существования иррациональных чисел, без указания какого-либо конкретного иррационального числа, может быть получен из совершенно общих рассуждений.
И ещё об одном виде чисел - о так называемых алгебраических числах. Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения. Всякое уравнение имеет две части, левую и правую, разделённые (или, если угодно, соединённые) знаком равенства. Алгебраическими называют уравнения особо простого вида: в правой части стоит число ноль, а левая есть многочлен какой-то степени с одним неизвестным и целыми коэффициентами, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Частный вид алгебраических уравнений образуют те квадратные уравнения, у которых все коэффициенты (при иксе в квадрате, при иксе, свободный член) суть целые числа. Всякое рациональное число есть число алгебраическое (вопрос к читателю: почему?), и алгебраические числа образуют как бы следующий за рациональными разряд чисел по шкале “от простого к сложному”. Математиков долгое время интересовал вопрос, бывают ли действительные числа, не являющиеся алгебраическими; такие числа называют “трансцендентными”. Существование трансцендентных чисел было установлено в 1844 году путём приведения соответствующих достаточно сложных примеров; лишь в 1873 году и, соответственно, в 1882 году была доказана трансцендентность известных чисел e и . Однако, если не требовать указания конкретных примеров трансцендентных чисел, само существование таковых может быть установлено тем же методом, каким выше было установлено существование чисел иррациональных. Именно, в 1874 году Кантор показал, что множество всех алгебраических уравнений счётно, из чего уже несложно вывести счётность множества алгебраических чисел. А мы знаем, что множество всех действительных чисел континуально, так что оно никак не может состоять из одних только алгебраических чисел.
Понятие эквивалентности служит основой для возникновения понятия количества элементов множества. Количество - это то общее, что имеется у всех эквивалентных друг другу множеств. Для каждой коллекции эквивалентных друг другу множеств это количество своё - одно и то же для всех множеств этой коллекции. Возьмём, например, множество чудес света, множество дней недели, множество нот гаммы, множество смертных грехов и множество федеральных округов России. Все они эквивалентны. Просвещённый читатель добавит к ним множество городов, споривших за честь быть родиной Гомера, и множество земных душ “по”, присутствующих, согласно учению китайцев, в каждом человеке. И множество столбов того дома мудрости, о котором говорится в “Притчах Соломона”. И множество невест ефрейтора Збруева. И множество пядей во лбу. Если теперь рассмотреть не только перечисленные только что множества, но и все мыслимые множества, эквивалентные перечисленным, то обнаружим, что в них присутствует некая общность. Эта общность есть количество элементов в каждом из них. В данном конкретном случае это количество называется, как всем известно, так: семь. А количество элементов, характерное для множества планет Солнечной системы и всех эквивалентных ему множеств, теперь (после разжалования Плутона) называется так: восемь.
Надеемся, что читатель уже пришёл к выводу, что все счётные множества обладают одним и тем же количеством элементов. В частности, количество всех квадратов равно количеству всех натуральных чисел. Количество элементов какого-либо счётного множества (а у всех счётных множеств количество элементов одно и то же!) называется счётной мощностью и обозначается буквой алеф с нижним индексом ноль
(произносится алеф-ноль). Вот и соответствующая цитата из одноимённого рассказа Борхеса - кстати, с довольно отчётливой формулировкой эффекта Кортасара: “в Mengenlehre Алеф - символ трансфинитных множеств, где целое не больше, чем какая-либо из частей”.
В математике вообще количество элементов в каком-либо множестве называют мощностью, или кардинальным числом, этого множества. В частности, все континуальные множества имеют одну и ту же мощность, называемую континуальной; она обозначается посредством строчной буквы цэ из печатного готического алфавита.
Описанный выше способ, посредством которого существование иррациональных и трансцендентных чисел можно получить из общих соображений, без предъявления конкретных примеров, мы вправе назвать количественным, ибо он основан на несовпадении количеств - счётного количества, присущего как множеству рациональных, так и множеству алгебраических чисел, и континуального количества, присущего множеству всех действительных чисел.
Теперь о сравнении количеств. Два количества могут быть равны или не равны. Давайте осознаем, чтбо это означает. Каждое количество представлено коллекцией всех мыслимых эквивалентных друг другу множеств. Равенство количеств означает совпадение соответствующих коллекций, а неравенство - их несовпадение. Семь потому не равно восьми, что коллекция всех множеств, эквивалентных множеству смертных грехов, не совпадает с коллекцией всех множеств, эквивалентных множеству планет. Количество квадратов потому равно количеству натуральных чисел, что коллекция всех множеств, эквивалентных множеству квадратов, совпадает с коллекцией всех множеств, эквивалентных натуральному ряду. Но хотелось бы иметь право говорить не только о равенстве или неравенстве двух количеств, но и о том, которое из них больше, а которое меньше. (Не запутайтесь: слова “больше” и “меньше” относятся к количествам, а не к представляющим их коллекциям множеств!)
- Предыдущая
- 13/23
- Следующая