Историко-критическое введение в философию естествознания - Лукьянов Аркадий Викторович - Страница 19

Всеми признанная геометрия не может дать доказательства пятого постулата. Не означает ли это, что при замене его другим постулатом параллельности может быть построена абсолютно новая геометрия? Лобачевский назвал её сначала осторожно, "Воображаемой", а потом - "Всеобщей геометрией" или "Пангеометрией". Сегодня её называют неевклидовой или просто геометрией Лобачевского.

В противоположность допущению Евклида, что через точку С, лежащую вне прямой АВ, проходит на плоскости только одна параллельная ей прямая линия. Лобачевский принял постулат, утверждающий, что таких прямых может быть, по крайней мере, две (СМ и СN). Отсюда следует, что имеется ещё бесчисленное множество прямых, заключённых в углу между прямыми СМ и CN', которые также не будут пересекать АВ (рис. 1)

М' N'

С

N M

А В

Д

Рис. 1.

Часто говорят, лиха беда начало. А здесь оно было особенно трудным. Ведь всякий, кто впервые прочтёт указанное предположение, немедленно воскликнет: "Неверно! Попробуйте продолжить прямые АВ и CN или СМ, они пересекутся тут же на чертеже!"

Конечно, пересекутся, но на обычной (привычной нам) плоскости. Однако, выдвинув свой постулат, Лобачевский сразу же расстался с абсолютным, всюду однородным эвклидовым пространством, поскольку в нём такое допущение было бы невозможно и бессмысленно. Отвергнув истинность V постулата, он тем самым открыл существование пространства с другими свойствами. "Плоскость" в этом новом, неевклидовом пространстве вовсе не плоская. У неё имеется кривизна. Само пространство Лобачевского обладает кривизной. В частном - предельном случае, когда радиус кривизны становится равным бесконечности, пространство Лобачевского переходит в "плоское" (нулевой кривизны) пространство Евклида. Следовательно, геометрия последнего есть только частный случай геометрии Лобачевского. Поэтому начерченные на листке бумаги параллельные Лобачевского имеют чисто условный вид и, конечно, они пересекутся. Но если мы растянем мысленно этот листок-плоскость на миллионы и миллиарды световых лет, можно ли поручиться, что она не приобретёт кривизны? Если приобретёт, то наши прямые ("прямые Лобачевского") не встретятся. Так, предполагая возможность применения своей геометрии "за пределами видимого мира" Лобачевский смог заглянуть в беспредельные дали.

Данную мысль можно геометрически проинтерпретировать следующим образом: пусть мы имеем прямую а и через точку с, лежащую вне её, проходит на плоскости прямая b, параллельная а. Теперь, пусть прямая b отклонится, проходя через с, на сколь угодно малую долю градуса (См. рис. 2).

b'

b a

a

Рис. 2.

Встретится ли b' с прямой а в этом, "видимом мире"? Ведь после работ А.А. Фридмана и после того, как было установлено, что величина радиуса кривизны космического пространства оказывается переменной, принимающей различные значения в зависимости от структуры поля тяготения тех или иных его участков, выдвинутый нами вопрос является вполне оправданным. Но раз это так, то можно построить совершенно непротиворечивую геометрию, в которой оказывается изменённым только пятый постулат, а все остальные аксиомы Евклида сохраняют свой прежний вид.

Только спустя почти полтора столетия после открытия неевклидовой геометрии, на основе общей теории относительности Эйнштейна, астрономия установила, что реальное пространство Вселенной действительно обладает кривизной, и его геометрия отлична от евклидовой. Лобачевский предположил даже, что его "геометрии, может быть, следуют молекулярные силы" (по современной терминологии - ядерные силы).

Отметим, что независимо от Лобачевского, к аналогичным идеям пришли К.Ф. Гаусс (он так и не решился опубликовать свой вариант неевклидовой геометрии, так как "боялся криков беотийцев") и Янош Бойяи, сын известного венгерского математика Фаркаша Бойяи. Бойяи-сын послал Гауссу текст своего сочинения, которое было им поименовано как "аппендикс" (вероятнее всего, это был намёк на некое инородное "тело", которое содержала в себе геометрия Евклида). Однако Гаусс заявил в своём ответном послании, что пришёл к этим идеям уже в юные годы.

Развитие неевклидовых геометрий в XIX веке всё же до конца не устранило, как нам думается, вопрос о том - что может дать познанию чистое мышление независимо от чувственного восприятия? В те времена, когда философия находилась в процессе своего становления, было широко распространено мнение, что можно познать всё, что угодно, отталкиваясь от одного лишь чистого мышления. Эта аристократическая иллюзия о неограниченной проницательности мышления "имеет своего двойника - значительно более плебейскую иллюзию наивного реализма, согласно которому все вещи "существуют" в том виде, в каком их воспринимают наши чувства. В обыденной жизни человека и животных господствует именно эта иллюзия. Она же служит отправным пунктом всех наук, в особенности естественных" (См.: Эйнштейн А. Собр. науч. трудов в 4-х т.: Т. IV. - М.: Наука, 1967. - С. 249).

Та ошибка, что в фундаменте евклидовой геометрии и связанного с ней понятия пространства лежат потребности чистого мышления, обусловлена во многом тем, что эмпирический базис, на котором основывается аксиоматическое строение евклидовой системы, был предан забвению. Ведь в той мере, в которой можно вести речь о существовании в природе твёрдых тел, евклидова геометрия должна считаться физической наукой, польза которой должна быть показана её применением к чувственному восприятию. С точки зрения физической науки единственное значение евклидовой геометрии заключается в том, что законы последней не зависят от специфической природы тел, относительные положения которых она изучает. "Такое использование понятий, когда они рассматриваются независимо от эмпирической основы, которой они обязаны своим существованием, не всегда является вредным в науке. Но если думать, что эти понятия, происхождение которых забыто, являются необходимыми и незыблемыми спутниками нашего мышления, то это будет ошибкой, которая может стать серьёзной опасностью для прогресса науки" (Там же. - С. 207).

Д. Юм впервые отчётливо осознал ту мысль, что понятия, которые мы считаем существенными (например, понятие причинной связи), невозможно получить из материала, доставляемого нашими чувствами. Это вызвало у него скептическое отношение ко всякого рода знаниям.

Однако исследователь всегда стремится к достоверному знанию. Именно поэтому миссия Д. Юма обречена на неудачу. И тут на сцену выходит И. Кант, который пытается обосновать то положение, что достоверное знание должно быть основано на чистом мышлении (например, так обстоит дело с геометрическими теоремами и с принципом причинности). В настоящее время известно, что упомянутые понятия не обладают абсолютной достоверностью. Однако И. Кант прав был в том, что в процессе мышления мы действительно, с некоторым "основанием", пользуемся понятиями, не связанными с ощущениями (См.: Там же. - С. 251). Мы приобрели "привычку так тесно связывать определённые понятия и суждения с некоторыми ощущениями, что не отдаём себе отчёта в том, что мир чувственного восприятия отделён от мира понятий и суждений непроницаемой стеной, если подходить к этому вопросу чисто логически" (Там же.). Но отсюда вовсе не следует, что мы должны постоянно бояться метафизики и обращаться лишь к одному эмпирическому опыту. Для развития механики было счастливой случайностью, что философы прошлого в процессе "эмпирической интерпретации понятия объективного времени не вскрыли отсутствия в нём точности" (См.: Там же. - С. 207-208).

Известно, что введение "объективного времени" заключает в себе два независимых друг от друга утверждения.

"1. Введение местного объективного времени, связывающего последовательность опытов во времени с показаниями "часов", т.е. с замкнутой системой периодических событий.

2. Введение понятия объективного времени для событий во всём пространстве; только благодаря этому понятию идея местного времени расширяется, становясь идеей о времени в физике" (Там же. - С. 207).