Наука логики - Дебольский Г. Н - Страница 207

Как известно, арифметику и более общие науки о дискретной величине по преимуществу называют аналитической наукой и анализом. Способ познания в этих науках и в самом деле наиболее имманентно аналитичен, и следует вкратце рассмотреть, на чем это основывается. - Прочее аналитическое познание начинает с конкретного материала, содержащего случайное многообразие;

всякое различие содержания и движение вперед к дальнейшему содержанию зависят от этого конкретного материала. Материал же арифметики и алгебры это нечто уже сделанное совершенно абстрактным и неопределенным, в чем стерты всякие специфические черты отношения и для чего, стало быть, всякое определение и всякая связь внешни. Таков принцип дискретной величины, "одно". Из этого, лишенного всякого отношения, неделимого (Atome) может быть образовано некоторое множество, его можно внешним образом определить и соединить в некоторую численность; но такое умножение и ограничение есть пустое движение и акт определения, не идущий дальше того же принципа абстрактного "одного". Далее, каким образом сочетаются и разъединяются числа, - это зависит исключительно от полагания познающего [субъекта]. Категория, в пределах которой делаются все такие определения, - это вообще величина, а она есть ставшая безразличной определенность, так что предмет не имеет никакой определенности, которая была бы ему имманентна и, следовательно, была бы дана познанию. Поскольку познание сначала сообщило себе случайное разнообразие чисел, они составляют материал для дальнейшей обработки и многообразных отношений. Такие отношения, их нахождение и обработка кажутся, правда, отнюдь не имманентными аналитическому познанию, а чем-то случайным и данным (и в самом деле, эти отношения и обусловленные ими действия излагаются обычно друг за другом как разные, без указания внутренней связи между ними). Однако [здесь] нетрудно обнаружить направляющий принцип, а именно имманентный принцип аналитического тождества, которое в разнящемся выступает в виде равенства; движение вперед состоит здесь в сведении неравного ко все большему равенству. Чтобы привести пример из первых элементарных действий, укажем, что сложение есть сочетание совершенно случайно неравных чисел, умножение же, напротив,-равных чисел, а затем еще следует отношение равенства между численностью и единицей, степенное отношение.

А так как определенность предмета и отношений есть положенная определенность, то дальнейшие действия над ними также совершенно аналитичны, и в аналитической науке имеются поэтому не столько доказуемые положения, сколько задачи. Аналитическое положение содержит задачу уже как решенную самое по себе, и совершенно внешнее различие, присущее тем двум сторонам, которые оно полагает равными друг другу, столь несущественно, что такое положение должно было бы показаться тривиальным тождеством. Кант, правда, объявил положение 5 + 7=12 синтетическим на том основании, что одно и то же [содержание ] на одной стороне представлено в форме нескольких чисел, 5 и 7, а на другой стороне-в форме одного числа, 12.67 Однако если аналитическое [положение] не должно означать совершенно абстрактно тождественное и тавтологическое 12=12 и в нем вообще должно быть какое-то движение вперед, то должно быть налицо какое-нибудь различие, но такое, которое не основывается ни на каком качестве, ни на какой определенности рефлексии и еще в меньшей мере на определенности понятия. 5+7 и 12 - это совершенно одно и то же содержание;

первая сторона равенства выражает также требование, чтобы 5 и 7 были соединены в одном выражении; а это означает, что, подобно тому как 5 есть нечто сосчитанное, причем прекращение счета на этом числе было совершенно произвольным и счет мог бы с таким же успехом быть продолжен, так следует теперь считать дальше таким же образом, чтобы число прибавляемых единиц равнялось 7. 12 есть, следовательно, результат 5 и 7 и такого действия, которое, положенное уже по своей природе, тоже есть совершенно внешнее, чуждое мысли дело и потому может быть совершено также машиной. Здесь нет ни малейшего перехода к чему-то иному; это простое продолжение, т. е. повторение того же действия, в результате которого получились 5

и 7Доказательство такого положения - оно требовало бы доказательства, если бы оно было синтетическим, - состояло бы лишь в действии определенного 7-ью дальнейшего счета, начиная с 5-ти, и в познании совпадения результата этого дальнейшего счета с тем, чтб вообще называется 12-ью и чтб в свою очередь есть не что иное, как именно сам этот определенный дальнейший счет. Поэтому вместо формы положения сразу же выбирают форму задачи, требования действий, а именно высказывают лишь одну сторону уравнения, которое составило бы положение, другая же сторона уравнения должна быть найдена. Задача заключает в себе содержание и указывает на определенное действие, которое должно быть произведено над этим содержанием. Действие не ограничено каким-либо неподатливым, наделенным специфическими отношениями материалом, оно внешнее, субъективное действие, и материал безразлично принимает те определения, которые оно в нем полагает. Вся разница между поставленными в задаче условиями и полученным в решении результатом состоит лишь в том, что в этом результате действительно осуществлено соединение или разъединение тем определенным способом, какой был указан в задаче.

Поэтому в высшей степени излишне применять здесь форму геометрического метода, относящегося к синтетическим положениям, и кроме решения задачи присоединять к ней еще и доказательство. Это доказательство может выразить только ту тавтологию, что решение правильно, потому что действие произведено так, как было задано. Если задача требует сложить несколько чисел, то решение состоит в том, что их складывают; доказательство показывает, что решение правильно, потому что было задано сложить и было произведено сложение. Если задача заключает в себе более сложные определения и действия, скажем, например, перемножить десятичные числа, а решение дает лишь механический прием и ничего больше, то в этом случае доказательство, пожалуй, требуется, но это доказательство может быть только анализом тех определений и действий, из которых решение получается само собой. Из-за того, что решение как механический прием таким образом отделяется от доказательства как вспоминания природы подлежащего действия предмета и самого действия, как раз и утрачивается преимущество аналитической задачи, заключающееся в том, что построение выводится из задачи непосредственно и потому само собой может быть представлено как рассудочное построение; действуя же иначе, построению явно сообщают недостаток, свойственный синтетическому методу. - В высшем анализе, где вместе со степенным отношением появляются главным образом качественные и зависящие от понятийных определенностей отношения дискретных величин, задачи и теоремы, несомненно, содержат синтетические определения, там приходится брать в качестве средних членов не те определения и отношения, которые непосредственно указаны задачей или теоремой, а другие. Однако и эти вспомогательные определения должны иметь свое основание в том, что здесь учитывается и развивается одна сторона задачи или теоремы; синтетический вид они имеют исключительно потому, что в самой задаче или теореме эта сторона уже не указывается. Например, задача найти сумму степеней корней уравнения решается посредством рассмотрения и затем соединения функций, служащих в уравнении коэффициентами корней. Вспомогательное определение функций коэффициентов и соединения этих функций уже не выражено в задаче, в прочих же отношениях само развертывание совершенно аналитично. Подобным же образом решение уравнения хm - 1 = 0 с помощью синусов, а также имманентное, найденное, как известно, Гауссом алгебраическое решение посредством рассмотрения остатка от деления xm-1 - 1 на т и так называемых первообразных корней - одно из важнейших совершенствовании анализа в новейшее время - есть синтетическое решение, так как вспомогательные определения - синусы или рассмотрение остатков - не определения самой задачи.