Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" - Страница 20

||lx || = |l| ||x ||, l Î

 x , если ||xn — x ||  0.

  В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение — обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x , у Î Х называется комплексное число (x , у ) такое, что всегда (x , x ) ³ 0 и (x , x ) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

 , l, m Î  является нормой элемента x . Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что  для xm , xn Î X, следует существование предела , также являющегося элементом Х ). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.

  Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства . Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в

, норма ||x || = ; банахово пространство Lp (T ) всех суммируемых с р -й (p ³ 1) степенью функций на Т , норма ; банахово пространство lp всех последовательностей таких, что , здесь   (множеству целых чисел), норма ||x || =(å|xj |p )1/p ; в случае p = 2 пространства l2 и L2 (T ) гильбертовы, при этом, например, в L2 (T ) скалярное произведение ; линейное топологическое пространство D (), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на , каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а , b )]; при этом xn x, если xn (t ) равномерно финитны [т. е. (а , b ) не зависит от n ] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x (t ).

  Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l2 : векторы ej = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.

  С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у Î Н называются ортогональными (x ^ y ), если (x , у ) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство F — линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор xF , что x —xF ^f для любого f Î F . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса — последовательности векторов ej , j Î

, из Н таких, что ||ej || = 1, ej ^ ek при j ¹ k , и для любого x Î H справедливо «покоординатное» разложение

x = å

xj ej (1)

где xj = (x , ej ), ||x || = å

|xj |2 (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L2 (0, 2p) и положить , j =...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t ) Î L2 (0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l2 ' {xj} , j Î  гильбертовых пространств Hj — конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x , x ) = 0 для x ¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x , для которых (x , x ) = 0; тензорное произведение  — образование его аналогично переходу от функций одной переменной f (x1 ) к функциям многих переменных f (x1 ,..., xq ); проективный предел  банаховых пространств — здесь  (грубо говоря), если  для каждого a; индуктивный предел  банаховых пространств X1 Ì X2 Ì..., здесь , если все xj , начиная с некоторого j , лежат в одном Xj0 , и в нём .  Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства — проективный предел гильбертовых пространств Нa , обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что hb Ì Нa , и это — т. н. вложение Гильберта — Шмидта [D () — пример ядерного пространства].