Большая Советская Энциклопедия (СС) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" - Страница 111

  Много работ советских учёных посвящено теории функций комплексного переменного и её приложениям. Важнейшие применения теории аналитических функций в области аэромеханики были даны Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. Большой вклад в аэромеханику внёс М. В. Келдыш. Результаты Н. И. Мусхелишвили и И. Н. Векуа по граничным задачам теории аналитических функций, которыми занимались также В. В. Голубев и И. И. Привалов, нашли применение в теории упругости, теории оболочек, в механике сплошной среды. В связи с рядом прикладных задач разрабатывались обобщения теории аналитических функций. М. А. Лаврентьев создал теорию квазиконформных отображений, которую он применил к изучению струйного течения жидкости. И. Н. Векуа построил теорию обобщённых аналитических функций.

  М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев провели фундаментальные исследования в теории равномерного приближения функций комплексного переменного многочленами. Эти работы были продолжены А. Г. Витушкиным, А. А. Гончаром, С. Н. Мергеляном и другими учёными; был изучен вопрос о приближении функций комплексного переменного рациональными функциями, работы по интерполяции функций в комплексной области выполнил А. Ф. Леонтьев.

  Разработка теории функций действительного переменного привела советских математиков к необходимости развития теории множеств и содействовала возникновению теоретико-множественной топологии. Основополагающими явились работы П. С. Александрова. Им, в частности, введено фундаментальное понятие нерва системы множеств. П. С. Александровым создана топологическая теория незамкнутых множеств, играющая большую роль в топологии.

  Л. С. Понтрягин является основателем школы алгебраической топологии. Современная топология представляет собой цикл областей математики, изучающих т. н. глобальные проблемы геометрии, анализа, теории дифференциальных уравнений; она охватывает также часть алгебры. Начиная с исследований Л. С. Понтрягина по теории двойственности, топология развивалась под влиянием его идей и методов. Вопросами топологии занимались также А. Н. Тихонов, С. П. Новиков и др.

  В области геометрии А. Д. Александровым построена общая теория выпуклых многогранников. Им, А. В. Погореловым и другими геометрами исследованы дифференциально-геометрические образования «в целом».

  Многочисленные исследования проведены по теории дифференциальных уравнений с частными производными. В. И. Смирновым и С. Л. Соболевым был дан метод решения уравнений гиперболического типа. А. Н. Колмогоровым были изучены уравнения параболического типа. И. Г. Петровский выделил и изучил широкие классы эллиптических, гиперболических и параболических систем, которые в основном сохраняют свойства соответствующих уравнений 2-го порядка. Им же дано решение задачи Коши для гиперболических систем и в наиболее общем виде исследован вопрос об аналитичности решений эллиптических систем (в частных случаях этот вопрос рассматривался ранее).

  И. Н. Векуа исследовал общие краевые задачи для эллиптических уравнений высшего порядка с двумя независимыми переменными созданным им методом интегральных представлений решений; эти работы были продолжены многими математиками. Уравнения смешанного типа изучались М. А. Лаврентьевым и А. В. Бицадзе. Н. М. Крыловым, Н. Н. Боголюбовым, И. Г. Петровским были разработаны прямые методы решения вариационных задач, качественные методы исследования вариационных задач развиты в работах Л. А. Люстерника, Л. Г. Шнирельмана и др.

  Работы С. Л. Соболева в области математической физики вызвали необходимость изучения новых классов уравнений. Им введены новые функционально-аналитические методы исследования задач математической физики, ряд работ по математической физике выполнили Н. М. Гюнтер, Н. С. Кошляков и др.

  М. В. Келдышем заложены основы теории несамосопряжённых операторов, которая применялась в исследованиях многочисленных учёных. Н. И. Мусхелишвили и его учениками получены важные результаты в области теории сингулярных интегральных операторов. Значит. работы проведены по спектральной теории операторов. Получено много результатов в изучении краевых задач смешанного типа и в теории квазилинейных систем. Ряд вопросов функционального анализа (теория нормированных колец, представления групп, обобщённые функции) изучался И. М. Гельфандом. Л. В. Канторовичем построена теория полуупорядоченных пространств. Л. И. Седовым предложены обобщённые вариационные принципы механики, дающие возможность описания необратимых процессов.

  В теоретической физике Н. Н. Боголюбов и В. С. Владимиров применили к проблемам квантовой теории поля методы теории аналитических функций множества комплексных переменных и теории обобщённых функций. Н. Н. Боголюбовым построена теория сверхтекучести и установлен фундаментальный факт, что сверхпроводимость может рассматриваться как сверхтекучесть электронного газа. Н. Н. Боголюбовым предложена система аксиом квантовой теории поля, которая дала возможность строго доказать дисперсионные соотношения. В связи с изучением вопросов квантовой теории поля Н. Н. Боголюбовым и В. С. Владимировым получены важные результаты в теории функций многих комплексных переменных (теорема об «острие клина», о «С- выпуклой оболочке», о «конечной инвариантности» и др.). Важные результаты в области теоретической физики принадлежат также Л. Д. Фаддееву.

  Многочисленные работы в области теории вероятностей и математической статистики ведутся со времён деятельности П. Л. Чебышёва и его учеников А. М. Ляпунова и А. А. Маркова. С. Н. Бернштейн завершил исследования по предельным теоремам типа Лапласа и Ляпунова, приводящим к нормальному закону распределения, и изучил условия применимости основной предельной теоремы к зависимым величинам. Существенные результаты в области теории вероятностей получены А. Я. Хинчиным. А. Н. Колмогоровым разработана общепринятая ныне аксиоматика теории вероятностей, основанная на понятии меры. В трудах А. Н. Колмогорова и его школы широкое развитие получила теория случайных процессов. Ряд предельных теорем теории вероятностей доказан Ю. В. Прохоровым и его учениками, в том числе теоремы о сходимости распределений, связанных с суммами независимых случайных величин, к распределениям некоторых случайных процессов. Авторами работ в области теории вероятностей являются также А. А. Боровков и др., а в области математической статистики — Н. В. Смирнов, исследовавший её непараметрические задачи, Л. Н. Большев и др. Ю. В. Линником введены новые аналитические методы, примененные им и его учениками к предельным теоремам и к задачам параметрической статистики. Ряду учёных принадлежат исследования в области теории надёжности и теории массового обслуживания.

  Выдающееся значение имеют работы Н. Н. Боголюбова, В. М. Глушкова, А. А. Дородницына, М. В. Келдыша, Н. Е. Кочина, М. А. Лаврентьева, А. Н. Тихонова и других учёных по прикладной математике. А. А. Дородницыным и его сотрудниками созданы методы решения задачи обтекания тел в полной нелинейной постановке для звуковых, сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростей. Н. Е. Кочиным исследованы вопросы движения вязкой жидкости. Границы применения математики всё более расширяются. Наряду с традиционными областями её применения, такими, как механика, физика, астрономия, возникли новые — экономика, биология и др. Ряд приложений математики к вопросам экономики разработал Л. В. Канторович.

  Теорией приближённых вычислений занимался А. Н. Крылов. Современная вычислительная математика возникла из задач новой техники на основе использования классической математики и применения ЭВМ. Этим путём были решены важные задачи, относящиеся к проблеме овладения атомной энергией, к теории космического полёта и к другим вопросам. Появление ЭВМ поставило перед математикой ряд новых проблем, в частности посвященных изучению различных алгоритмов. В этой связи проведено сравнительное изучение алгоритмов для широкого круга задач, исследован вопрос о построении наилучших (или близких к наилучшим) алгоритмов, принадлежащих данному классу при различных критериях оптимальности. Важное значение для вычислит. техники имеет теория алгоритмических языков, дающая возможность унификации и упрощения программирования на ЭВМ.