Большая Советская Энциклопедия (ГА) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" - Страница 164

  Г. к. занимают среди всех разнообразных форм колебаний важное место, оно определяется двумя обстоятельствами. Во-первых, в природе и в технике очень часто встречаются колебательные процессы, по форме близкие к Г. к. Во-вторых, очень широкий класс систем, свойства которых можно считать неизменными (например, электрические цепи, у которых индуктивность, ёмкость и сопротивление не зависят от напряжения и силы тока в цепи), по отношению к Г. к. ведут себя особым образом: при воздействии на них Г. к. совершаемые ими вынужденные колебания имеют также форму Г. к. (когда форма внешнего воздействия отличается от Г. к., форма вынужденного колебания системы всегда отличается от формы внешнего воздействия). Иначе говоря, в большинстве случаев Г. к. единственный тип колебаний, форма которых не искажается при воспроизведении; это и определяет особое значение Г. к., а также возможность представления негармонических колебаний в виде гармонического спектра колебаний.

  Лит.: Элементарный учебник физики, под ред. Г. С. Лансберга, 3 изд., т. 3, М., 1962; Хайкин С. Э., Физические основы механики, М., 1963.

Рис. к ст. Гармонические колебания.

Гармонические функции

Гармони'ческие фу'нкции , функции от n переменных (n ³ 2), непрерывные в некоторой области вместе с частными производными первого и второго порядков и удовлетворяющие в этой области дифференциальному уравнению Лапласа

  Во многих вопросах физики и механики, где речь идёт о состоянии части пространства, зависящем от положения точки, но не от времени (равновесие, установившееся движение и т. п.), соответствующее состояние представляется Г. ф. от координат точки. Так, например, потенциал сил тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и потенциал постоянного электрического поля в области, не содержащей электрических зарядов, суть Г. ф. Точно так же Г. ф. являются потенциал скоростей установившегося безвихревого движения несжимаемой жидкости, температура тела при условии установившегося распределения тепла, величина прогиба мембраны, натянутой на контур произвольного вида, вообще неплоский (весом мембраны пренебрегают), и т. д.

  Наиболее важны для приложения к физике и механике Г. ф. от трёх переменных (координат точки). В частном случае, когда область пространства ограничена цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны, например, оси z , причём изучаемое явление протекает одинаковым образом в любой плоскости, перпендикулярной к образующим (т. е. не зависит от координаты z ), соответствующие Г. ф. от трёх переменных превращаются в Г. ф. от двух переменных х и у . Последние находятся в тесной связи с аналитическими функциямиf (x) от комплексного переменного x = х + iy . А именно каждая Г. ф. от х и у есть действительная или мнимая часть некоторой функции f (x) , и, обратно, действительная и мнимая части любой аналитической функции суть Г. ф. от x и у . Например, х2 —у2 и 2ху , будучи действительной и мнимой частями функции x2 = х2 —у2 + 2ixy , суть Г. ф. Важнейшими задачами теории Г. ф. являются краевые, или граничные, задачи, в которых требуется найти Г. ф. внутри области на основании данных, относящихся к поведению функции на границе этой области. Такова задача Дирихле, где Г. ф. ищется по её значениям, заданным в точках границы области (например, определение температуры внутри тела по температуре на его поверхности, поддерживаемой так, что она зависит только от точки, но не от времени, или определение формы мембраны по виду контура, на который она натянута). Такова также задача Неймана, где Г. ф. ищется по величине её нормальной производной, заданной на границе области (например, определение температуры внутри тела по заданному на поверхности градиенту температуры или определение потенциала движения несжимаемой жидкости, обтекающей твёрдое тело, на основании того, что нормальные составляющие скоростей частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела, совпадают с заданными нормальными составляющими скоростей точек поверхности тела).

  Для решения задач Дирихле, Неймана и др. краевых задач теории Г. ф. разработаны различные методы, имеющие большое теоретическое значение. Например, для задачи Дирихле известны: альтернирующий метод (Шварца), метод выметания (Пуанкаре), метод интегральных уравнений (Фредгольма), метод верхних и нижних функций (Перрона) и др. При рассмотрении краевых задач для областей общего вида возникают важные вопросы об условиях существования решений, об устойчивости решений при малых изменениях границы области и др. Этим вопросам посвящены работы М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и др. советских математиков. Весьма большое значение для приложений теории Г. ф. к задачам физики и техники имеет также разработка методов численного решения краевых задач.

  Лит.: Келдыш М. В., О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, «Успехи математических наук», 1940, в. 8; Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.—Л., 1946; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961.

  А. И. Маркушевич.

Гармонический анализ

Гармони'ческий ана'лиз , отдел математики, связанный с разложением колебаний на гармонические колебания . При изучении периодических (т. е. повторяющихся во времени) явлений рассматриваются периодические функции . Например, гармоническое колебание описывается периодической функцией времени t ::

 Asin (wt + j ), называется гармоникой. Основная задача Г. а. состоит в расщеплении периодической функции на простейшие гармонические составляющие, т. е. в представлении периодической функции в виде тригонометрического ряда (см. Фурье ряд ).

Гармонический анализатор

Гармони'ческий анализа'тор , вычислительное устройство для нахождения амплитуд гармоник сложных периодических функций . Применяются при динамических исследованиях кривошипно-шатунных механизмов двигателей, для предварительной оценки влияния внешних периодических воздействий на колебательную систему, анализа звуковых колебаний и решения аналогичных задач. В состав практически всех типов Г. а. входят устройство ввода, перемножающие устройства , интегрирующие устройства . Основными характеристиками Г. а. (по которым они и классифицируются) являются: вид задаваемой функции (график, электрический сигнал, механическое перемещение), наибольший номер гармоники, количество одновременно вычисляемых коэффициентов. Наиболее широко распространены механические Г. а., при помощи которых, вручную обводя график заданной функции, можно получить одновременно значения амплитуд 20—25 гармоник.

  Лит.: Басманов В. В., Вычислительные математические приборы, М.. 1958; Мейер цур Капеллен В., Инструментальная математика для инженеров, пер. с нем, М., 1959.

Гармонический баланс

Гармони'ческий бала'нс , принцип гармонического баланса, принцип эквивалентной линеаризации нелинейностей, основанный на условном отождествлении данного нелинейного элемента с некоторым линейным элементом, установившаяся реакция которого на гармоническое воздействие совпадает с первой гармоникой реакции на то же воздействие исходного нелинейного элемента. Параметры эквивалентного линейного элемента зависят от амплитуды гармонического воздействия.

Гармонический ряд

Гармони'ческий ряд , числовой ряд